Issolvi {l}{2x-3y=18}{3x+4y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 18 } \\ { 3 x + 4 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=-4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-3y=18,3x+4y=-7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-3y=18$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=3y+18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+18\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'18+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+9$$

Issostitwixxi 9+\frac{3y}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+4y=-7.

$$3\left(\frac{3}{2}y+9\right)+4y=-7$$

Immultiplika 3 b'9+\frac{3y}{2}.

$$\frac{9}{2}y+27+4y=-7$$

Żid \frac{9y}{2} ma' 4y.

$$\frac{17}{2}y+27=-7$$

Naqqas 27 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{17}{2}y=-34$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{17}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-4$$

Issostitwixxi -4 għal y f'x=\frac{3}{2}y+9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{2}\left(-4\right)+9$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'-4.

$$x=-6+9$$

Żid 9 ma' -6.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=-4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-3y=18,3x+4y=-7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 18+\frac{3}{17}\left(-7\right)\\-\frac{3}{17}\times 18+\frac{2}{17}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=-4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-3y=18,3x+4y=-7$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 18,2\times 3x+2\times 4y=2\left(-7\right)$$

Issimplifika.

$$6x-9y=54,6x+8y=-14$$

Naqqas 6x+8y=-14 minn 6x-9y=54 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x-9y-8y=54+14$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-9y-8y=54+14$$

Żid -9y ma' -8y.

$$-17y=54+14$$

Żid 54 ma' 14.

$$-17y=68$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-17.

$$y=-4$$

Issostitwixxi -4 għal y f'3x+4y=-7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+4\left(-4\right)=-7$$

Immultiplika 4 b'-4.

$$3x-16=-7$$

Żid 16 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=-4$$