Issolvi {l}{2x-3y=11}{x+5y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 11 } \\ { x + 5 y = 16 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{103}{13} = 7\frac{12}{13} \approx 7.923076923$$

$$y = \frac{21}{13} = 1\frac{8}{13} \approx 1.615384615$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-3y=11,x+5y=16$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-3y=11$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=3y+11$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+11\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'3y+11.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}$$

Issostitwixxi \frac{3y+11}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+5y=16.

$$\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}+5y=16$$

Żid \frac{3y}{2} ma' 5y.

$$\frac{13}{2}y+\frac{11}{2}=16$$

Naqqas \frac{11}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{13}{2}y=\frac{21}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{13}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{21}{13}$$

Issostitwixxi \frac{21}{13} għal y f'x=\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{21}{13}+\frac{11}{2}$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'\frac{21}{13} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{63}{26}+\frac{11}{2}$$

Żid \frac{11}{2} ma' \frac{63}{26} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{103}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{103}{13},y=\frac{21}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-3y=11,x+5y=16$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\16\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\16\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 5-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 11+\frac{3}{13}\times 16\\-\frac{1}{13}\times 11+\frac{2}{13}\times 16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{103}{13}\\\frac{21}{13}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{103}{13},y=\frac{21}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-3y=11,x+5y=16$$

Biex tagħmel 2x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$2x-3y=11,2x+2\times 5y=2\times 16$$

Issimplifika.

$$2x-3y=11,2x+10y=32$$

Naqqas 2x+10y=32 minn 2x-3y=11 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x-3y-10y=11-32$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3y-10y=11-32$$

Żid -3y ma' -10y.

$$-13y=11-32$$

Żid 11 ma' -32.

$$-13y=-21$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-13.

$$y=\frac{21}{13}$$

Issostitwixxi \frac{21}{13} għal y f'x+5y=16. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+5\times \frac{21}{13}=16$$

Immultiplika 5 b'\frac{21}{13}.

$$x+\frac{105}{13}=16$$

Naqqas \frac{105}{13} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{103}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{103}{13},y=\frac{21}{13}$$