Issolvi {l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=6$$

$$y=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'y+2.

$$2x-15=3y+6$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$2x-15-3y=6$$

Żid 15 maż-żewġ naħat.

$$2x-3y=6+15$$

Żid 6 u 15 biex tikseb 21.

$$2x-3y=21$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 7 b'x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

Żid 5y maż-żewġ naħat.

$$7x-28+5y=-1$$

Żid 28 maż-żewġ naħat.

$$7x+5y=-1+28$$

Żid -1 u 28 biex tikseb 27.

$$7x+5y=27$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-3y=21$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=3y+21$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'21+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

Issostitwixxi \frac{21+3y}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 7x+5y=27.

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

Immultiplika 7 b'\frac{21+3y}{2}.

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

Żid \frac{21y}{2} ma' 5y.

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

Naqqas \frac{147}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{31}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'-3.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

Żid \frac{21}{2} ma' -\frac{9}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=6$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=6,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'y+2.

$$2x-15=3y+6$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$2x-15-3y=6$$

Żid 15 maż-żewġ naħat.

$$2x-3y=6+15$$

Żid 6 u 15 biex tikseb 21.

$$2x-3y=21$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 7 b'x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

Żid 5y maż-żewġ naħat.

$$7x-28+5y=-1$$

Żid 28 maż-żewġ naħat.

$$7x+5y=-1+28$$

Żid -1 u 28 biex tikseb 27.

$$7x+5y=27$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=6,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'y+2.

$$2x-15=3y+6$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$2x-15-3y=6$$

Żid 15 maż-żewġ naħat.

$$2x-3y=6+15$$

Żid 6 u 15 biex tikseb 21.

$$2x-3y=21$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 7 b'x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

Żid 5y maż-żewġ naħat.

$$7x-28+5y=-1$$

Żid 28 maż-żewġ naħat.

$$7x+5y=-1+28$$

Żid -1 u 28 biex tikseb 27.

$$7x+5y=27$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Biex tagħmel 2x u 7x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'7 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

Issimplifika.

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

Naqqas 14x+10y=54 minn 14x-21y=147 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

Żid 14x ma' -14x. 14x u -14x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-21y-10y=147-54$$

Żid -21y ma' -10y.

$$-31y=147-54$$

Żid 147 ma' -54.

$$-31y=93$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-31.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'7x+5y=27. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

Immultiplika 5 b'-3.

$$7x-15=27$$

Żid 15 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=42$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=6$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=6,y=-3$$