Issolvi {l}{2x-0.5y=1}{2/5x-1/5y=4/5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 0.5 y = 1 } \\ { \frac { 2 } { 5 } x - \frac { 1 } { 5 } y = \frac { 4 } { 5 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-1$$

$$y=-6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-0.5y=1,\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}y=\frac{4}{5}$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-0.5y=1$$

Żid \frac{y}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=0.5y+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(0.5y+1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'\frac{y}{2}+1.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi \frac{y}{4}+\frac{1}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, \frac{2}{5}x-\frac{1}{5}y=\frac{4}{5}.

$$\frac{2}{5}\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{5}y=\frac{4}{5}$$

Immultiplika \frac{2}{5} b'\frac{y}{4}+\frac{1}{2}.

$$\frac{1}{10}y+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}y=\frac{4}{5}$$

Żid \frac{y}{10} ma' -\frac{y}{5}.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$$

Naqqas \frac{1}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{10}y=\frac{3}{5}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-10.

$$y=-6$$

Issostitwixxi -6 għal y f'x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{2}$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-6.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Żid \frac{1}{2} ma' -\frac{3}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=-6$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-0.5y=1,\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}y=\frac{4}{5}$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-0.5\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-0.5\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-0.5\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-0.5\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-0.5\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-0.5\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-0.5\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{5}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)-\left(-0.5\times \frac{2}{5}\right)}&-\frac{-0.5}{2\left(-\frac{1}{5}\right)-\left(-0.5\times \frac{2}{5}\right)}\\-\frac{\frac{2}{5}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)-\left(-0.5\times \frac{2}{5}\right)}&\frac{2}{2\left(-\frac{1}{5}\right)-\left(-0.5\times \frac{2}{5}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2.5\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1-2.5\times \frac{4}{5}\\2-10\times \frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-6\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-1,y=-6$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-0.5y=1,\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}y=\frac{4}{5}$$

Biex tagħmel 2x u \frac{2x}{5} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'\frac{2}{5} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$\frac{2}{5}\times 2x+\frac{2}{5}\left(-0.5\right)y=\frac{2}{5},2\times \frac{2}{5}x+2\left(-\frac{1}{5}\right)y=2\times \frac{4}{5}$$

Issimplifika.

$$\frac{4}{5}x-\frac{1}{5}y=\frac{2}{5},\frac{4}{5}x-\frac{2}{5}y=\frac{8}{5}$$

Naqqas \frac{4}{5}x-\frac{2}{5}y=\frac{8}{5} minn \frac{4}{5}x-\frac{1}{5}y=\frac{2}{5} billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}x-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}y=\frac{2-8}{5}$$

Żid \frac{4x}{5} ma' -\frac{4x}{5}. \frac{4x}{5} u -\frac{4x}{5} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}y=\frac{2-8}{5}$$

Żid -\frac{y}{5} ma' \frac{2y}{5}.

$$\frac{1}{5}y=\frac{2-8}{5}$$

Żid \frac{2}{5} ma' -\frac{8}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$\frac{1}{5}y=-\frac{6}{5}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'5.

$$y=-6$$

Issostitwixxi -6 għal y f'\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}y=\frac{4}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}\left(-6\right)=\frac{4}{5}$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'-6.

$$\frac{2}{5}x+\frac{6}{5}=\frac{4}{5}$$

Naqqas \frac{6}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{2}{5}x=-\frac{2}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{2}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=-6$$