Issolvi {l}{2x+y=k}{5x+2y=1-k}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = k } \\ { 5 x + 2 y = 1 - k } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1-3k$$

$$y=7k-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+y=k$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-y+k$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+k\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-y+k.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-y+k}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+2y=1-k.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}\right)+2y=1-k$$

Immultiplika 5 b'\frac{-y+k}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{5k}{2}+2y=1-k$$

Żid -\frac{5y}{2} ma' 2y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5k}{2}=1-k$$

Naqqas \frac{5k}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{7k}{2}+1$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=7k-2$$

Issostitwixxi -2+7k għal y f'x=-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\left(7k-2\right)+\frac{k}{2}$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'-2+7k.

$$x=-\frac{7k}{2}+1+\frac{k}{2}$$

Żid \frac{k}{2} ma' 1-\frac{7k}{2}.

$$x=1-3k$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1-3k,y=7k-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-5}&-\frac{1}{2\times 2-5}\\-\frac{5}{2\times 2-5}&\frac{2}{2\times 2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2k+1-k\\5k-2\left(1-k\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1-3k\\7k-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1-3k,y=7k-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

Biex tagħmel 2x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$5\times 2x+5y=5k,2\times 5x+2\times 2y=2\left(1-k\right)$$

Issimplifika.

$$10x+5y=5k,10x+4y=2-2k$$

Naqqas 10x+4y=2-2k minn 10x+5y=5k billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x+5y-4y=5k+2k-2$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$5y-4y=5k+2k-2$$

Żid 5y ma' -4y.

$$y=5k+2k-2$$

Żid 5k ma' -2+2k.

$$y=7k-2$$

Issostitwixxi -2+7k għal y f'5x+2y=1-k. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+2\left(7k-2\right)=1-k$$

Immultiplika 2 b'-2+7k.

$$5x+14k-4=1-k$$

Naqqas -4+14k miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=5-15k$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=1-3k$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1-3k,y=7k-2$$