Issolvi {l}{2x+y=8-2x}{3(x-y)-2y=29}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 8 - 2 x } \\ { 3 ( x - y ) - 2 y = 29 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=-4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 2x maż-żewġ naħat.

$$2x+y+2x=8$$

Ikkombina 2x u 2x biex tikseb 4x.

$$4x+y=8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x-y.

$$3x-3y-2y=29$$

Ikkombina -3y u -2y biex tikseb -5y.

$$3x-5y=29$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+y=8,3x-5y=29$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+y=8$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-y+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-y+8.

$$x=-\frac{1}{4}y+2$$

Issostitwixxi -\frac{y}{4}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-5y=29.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+2\right)-5y=29$$

Immultiplika 3 b'-\frac{y}{4}+2.

$$-\frac{3}{4}y+6-5y=29$$

Żid -\frac{3y}{4} ma' -5y.

$$-\frac{23}{4}y+6=29$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{23}{4}y=23$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{23}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-4$$

Issostitwixxi -4 għal y f'x=-\frac{1}{4}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-4\right)+2$$

Immultiplika -\frac{1}{4} b'-4.

$$x=1+2$$

Żid 2 ma' 1.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=-4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 2x maż-żewġ naħat.

$$2x+y+2x=8$$

Ikkombina 2x u 2x biex tikseb 4x.

$$4x+y=8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x-y.

$$3x-3y-2y=29$$

Ikkombina -3y u -2y biex tikseb -5y.

$$3x-5y=29$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+y=8,3x-5y=29$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\29\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&1\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\29\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\29\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\29\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-5\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-5\right)-3}&\frac{4}{4\left(-5\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\29\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{1}{23}\\\frac{3}{23}&-\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\29\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 8+\frac{1}{23}\times 29\\\frac{3}{23}\times 8-\frac{4}{23}\times 29\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=-4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 2x maż-żewġ naħat.

$$2x+y+2x=8$$

Ikkombina 2x u 2x biex tikseb 4x.

$$4x+y=8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x-y.

$$3x-3y-2y=29$$

Ikkombina -3y u -2y biex tikseb -5y.

$$3x-5y=29$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+y=8,3x-5y=29$$

Biex tagħmel 4x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$3\times 4x+3y=3\times 8,4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 29$$

Issimplifika.

$$12x+3y=24,12x-20y=116$$

Naqqas 12x-20y=116 minn 12x+3y=24 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12x-12x+3y+20y=24-116$$

Żid 12x ma' -12x. 12x u -12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3y+20y=24-116$$

Żid 3y ma' 20y.

$$23y=24-116$$

Żid 24 ma' -116.

$$23y=-92$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'23.

$$y=-4$$

Issostitwixxi -4 għal y f'3x-5y=29. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-5\left(-4\right)=29$$

Immultiplika -5 b'-4.

$$3x+20=29$$

Naqqas 20 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=-4$$