Issolvi {l}{2x+y=11}{5x+3y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 11 } \\ { 5 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+y=11$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-y+11$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+11\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-y+11.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-y+11}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+3y=30.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)+3y=30$$

Immultiplika 5 b'\frac{-y+11}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{55}{2}+3y=30$$

Żid -\frac{5y}{2} ma' 3y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{55}{2}=30$$

Naqqas \frac{55}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{11}{2}$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'5.

$$x=\frac{-5+11}{2}$$

Żid \frac{11}{2} ma' -\frac{5}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5}&-\frac{1}{2\times 3-5}\\-\frac{5}{2\times 3-5}&\frac{2}{2\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 11-30\\-5\times 11+2\times 30\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

Biex tagħmel 2x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$5\times 2x+5y=5\times 11,2\times 5x+2\times 3y=2\times 30$$

Issimplifika.

$$10x+5y=55,10x+6y=60$$

Naqqas 10x+6y=60 minn 10x+5y=55 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x+5y-6y=55-60$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$5y-6y=55-60$$

Żid 5y ma' -6y.

$$-y=55-60$$

Żid 55 ma' -60.

$$-y=-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'5x+3y=30. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+3\times 5=30$$

Immultiplika 3 b'5.

$$5x+15=30$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=5$$