Issolvi {l}{2x+8y=16}{11-x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 16 } \\ { 11 - x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=10$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+8y=16$$

Naqqas 8y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-8y+16$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+16\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-8y+16.

$$x=-4y+8$$

Issostitwixxi -4y+8 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x+2y+11=0.

$$-\left(-4y+8\right)+2y+11=0$$

Immultiplika -1 b'-4y+8.

$$4y-8+2y+11=0$$

Żid 4y ma' 2y.

$$6y-8+11=0$$

Żid -8 ma' 11.

$$6y+3=0$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6y=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{2} għal y f'x=-4y+8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)+8$$

Immultiplika -4 b'-\frac{1}{2}.

$$x=2+8$$

Żid 8 ma' 2.

$$x=10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}&-\frac{8}{2\times 2-8\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-8\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 16-\frac{2}{3}\left(-11\right)\\\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{6}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Biex tagħmel 2x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$-2x-8y=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y+2\times 11=0$$

Issimplifika.

$$-2x-8y=-16,-2x+4y+22=0$$

Naqqas -2x+4y+22=0 minn -2x-8y=-16 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x+2x-8y-4y-22=-16$$

Żid -2x ma' 2x. -2x u 2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-8y-4y-22=-16$$

Żid -8y ma' -4y.

$$-12y-22=-16$$

Żid 22 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-12y=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-12.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{2} għal y f'-x+2y+11=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x+2\left(-\frac{1}{2}\right)+11=0$$

Immultiplika 2 b'-\frac{1}{2}.

$$-x-1+11=0$$

Żid -1 ma' 11.

$$-x+10=0$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$