Issolvi {l}{2x+5y=1}{-2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-2$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+5y=1,-2x+y=5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+5y=1$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-5y+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-5y+1.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-5y+1}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x+y=5.

$$-2\left(-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)+y=5$$

Immultiplika -2 b'\frac{-5y+1}{2}.

$$5y-1+y=5$$

Żid 5y ma' y.

$$6y-1=5$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6y=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

Żid \frac{1}{2} ma' -\frac{5}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+5y=1,-2x+y=5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{2-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2-5\left(-2\right)}&\frac{2}{2-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&-\frac{5}{12}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}-\frac{5}{12}\times 5\\\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-2,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+5y=1,-2x+y=5$$

Biex tagħmel 2x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$-2\times 2x-2\times 5y=-2,2\left(-2\right)x+2y=2\times 5$$

Issimplifika.

$$-4x-10y=-2,-4x+2y=10$$

Naqqas -4x+2y=10 minn -4x-10y=-2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-4x+4x-10y-2y=-2-10$$

Żid -4x ma' 4x. -4x u 4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-10y-2y=-2-10$$

Żid -10y ma' -2y.

$$-12y=-2-10$$

Żid -2 ma' -10.

$$-12y=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-12.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'-2x+y=5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x+1=5$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=1$$