Issolvi {l}{2x+4y=12}{5x-8y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 5 x - 8 y = 16 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} \approx 4.444444444$$

$$y=\frac{7}{9}\approx 0.777777778$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+4y=12$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-4y+12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-4y+12.

$$x=-2y+6$$

Issostitwixxi -2y+6 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x-8y=16.

$$5\left(-2y+6\right)-8y=16$$

Immultiplika 5 b'-2y+6.

$$-10y+30-8y=16$$

Żid -10y ma' -8y.

$$-18y+30=16$$

Naqqas 30 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-18y=-14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-18.

$$y=\frac{7}{9}$$

Issostitwixxi \frac{7}{9} għal y f'x=-2y+6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\times \frac{7}{9}+6$$

Immultiplika -2 b'\frac{7}{9}.

$$x=-\frac{14}{9}+6$$

Żid 6 ma' -\frac{14}{9}.

$$x=\frac{40}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-8\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-8\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-8\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{36}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 12+\frac{1}{9}\times 16\\\frac{5}{36}\times 12-\frac{1}{18}\times 16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{9}\\\frac{7}{9}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Biex tagħmel 2x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 12,2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 16$$

Issimplifika.

$$10x+20y=60,10x-16y=32$$

Naqqas 10x-16y=32 minn 10x+20y=60 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x+20y+16y=60-32$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$20y+16y=60-32$$

Żid 20y ma' 16y.

$$36y=60-32$$

Żid 60 ma' -32.

$$36y=28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'36.

$$y=\frac{7}{9}$$

Issostitwixxi \frac{7}{9} għal y f'5x-8y=16. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x-8\times \frac{7}{9}=16$$

Immultiplika -8 b'\frac{7}{9}.

$$5x-\frac{56}{9}=16$$

Żid \frac{56}{9} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=\frac{200}{9}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{40}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$