Issolvi {l}{2x+3y=8}{4x+5y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { 4 x + 5 y = 12 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-2$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+3y=8,4x+5y=12$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+3y=8$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-3y+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{2}+4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+5y=12.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+5y=12$$

Immultiplika 4 b'-\frac{3y}{2}+4.

$$-6y+16+5y=12$$

Żid -6y ma' 5y.

$$-y+16=12$$

Naqqas 16 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x=-\frac{3}{2}y+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\times 4+4$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'4.

$$x=-6+4$$

Żid 4 ma' -6.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+3y=8,4x+5y=12$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 8+\frac{3}{2}\times 12\\2\times 8-12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-2,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+3y=8,4x+5y=12$$

Biex tagħmel 2x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 8,2\times 4x+2\times 5y=2\times 12$$

Issimplifika.

$$8x+12y=32,8x+10y=24$$

Naqqas 8x+10y=24 minn 8x+12y=32 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$8x-8x+12y-10y=32-24$$

Żid 8x ma' -8x. 8x u -8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$12y-10y=32-24$$

Żid 12y ma' -10y.

$$2y=32-24$$

Żid 32 ma' -24.

$$2y=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'4x+5y=12. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x+5\times 4=12$$

Immultiplika 5 b'4.

$$4x+20=12$$

Naqqas 20 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=4$$