Issolvi {l}{2x+3y=7,80}{5x+4y=13,20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7,80 } \\ { 5 x + 4 y = 13,20 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1.2$$

$$y=1.8$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+3y=7.8,5x+4y=13.2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+3y=7.8$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-3y+7.8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7.8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3y+7.8.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{2}+\frac{39}{10} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+4y=13.2.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}\right)+4y=13.2$$

Immultiplika 5 b'-\frac{3y}{2}+\frac{39}{10}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{39}{2}+4y=13.2$$

Żid -\frac{15y}{2} ma' 4y.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{39}{2}=13.2$$

Naqqas \frac{39}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{63}{10}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{7}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{9}{5}$$

Issostitwixxi \frac{9}{5} għal y f'x=-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{9}{5}+\frac{39}{10}$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'\frac{9}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{-27+39}{10}$$

Żid \frac{39}{10} ma' -\frac{27}{10} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{6}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{9}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+3y=7.8,5x+4y=13.2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 7.8+\frac{3}{7}\times 13.2\\\frac{5}{7}\times 7.8-\frac{2}{7}\times 13.2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{9}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+3y=7.8,5x+4y=13.2$$

Biex tagħmel 2x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 7.8,2\times 5x+2\times 4y=2\times 13.2$$

Issimplifika.

$$10x+15y=39,10x+8y=26.4$$

Naqqas 10x+8y=26.4 minn 10x+15y=39 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x+15y-8y=39-26.4$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$15y-8y=39-26.4$$

Żid 15y ma' -8y.

$$7y=39-26.4$$

Żid 39 ma' -26.4.

$$7y=12.6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$y=\frac{9}{5}$$

Issostitwixxi \frac{9}{5} għal y f'5x+4y=13.2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+4\times \frac{9}{5}=13.2$$

Immultiplika 4 b'\frac{9}{5}.

$$5x+\frac{36}{5}=13.2$$

Naqqas \frac{36}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{6}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{9}{5}$$