Issolvi {l}{2x+3y=38}{-3x+2y=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 38 } \\ { - 3 x + 2 y = 21 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=12$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+3y=38,-3x+2y=21$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+3y=38$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-3y+38$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+38\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3y+38.

$$x=-\frac{3}{2}y+19$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{2}+19 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -3x+2y=21.

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+19\right)+2y=21$$

Immultiplika -3 b'-\frac{3y}{2}+19.

$$\frac{9}{2}y-57+2y=21$$

Żid \frac{9y}{2} ma' 2y.

$$\frac{13}{2}y-57=21$$

Żid 57 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{13}{2}y=78$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{13}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=12$$

Issostitwixxi 12 għal y f'x=-\frac{3}{2}y+19. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\times 12+19$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'12.

$$x=-18+19$$

Żid 19 ma' -18.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=12$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+3y=38,-3x+2y=21$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2\times 2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2\times 2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\\\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 38-\frac{3}{13}\times 21\\\frac{3}{13}\times 38+\frac{2}{13}\times 21\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=12$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+3y=38,-3x+2y=21$$

Biex tagħmel 2x u -3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 38,2\left(-3\right)x+2\times 2y=2\times 21$$

Issimplifika.

$$-6x-9y=-114,-6x+4y=42$$

Naqqas -6x+4y=42 minn -6x-9y=-114 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-6x+6x-9y-4y=-114-42$$

Żid -6x ma' 6x. -6x u 6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-9y-4y=-114-42$$

Żid -9y ma' -4y.

$$-13y=-114-42$$

Żid -114 ma' -42.

$$-13y=-156$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-13.

$$y=12$$

Issostitwixxi 12 għal y f'-3x+2y=21. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-3x+2\times 12=21$$

Immultiplika 2 b'12.

$$-3x+24=21$$

Naqqas 24 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3x=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=12$$