Issolvi {l}{2x+3y=18-n}{4x-y=5n+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 18 - n } \\ { 4 x - y = 5 n + 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=5-n$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+3y=18-n$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-3y+18-n$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+18-n\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3y+18-n.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x-y=5n+1.

$$4\left(-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9\right)-y=5n+1$$

Immultiplika 4 b'-\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2}.

$$-6y+36-2n-y=5n+1$$

Żid -6y ma' -y.

$$-7y+36-2n=5n+1$$

Naqqas 36-2n miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-7y=7n-35$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$y=5-n$$

Issostitwixxi 5-n għal y f'x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\left(5-n\right)-\frac{n}{2}+9$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'5-n.

$$x=\frac{3n-15}{2}-\frac{n}{2}+9$$

Żid 9-\frac{n}{2} ma' \frac{-15+3n}{2}.

$$x=n+\frac{3}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=n+\frac{3}{2},y=5-n$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(18-n\right)+\frac{3}{14}\left(5n+1\right)\\\frac{2}{7}\left(18-n\right)-\frac{1}{7}\left(5n+1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}n+\frac{3}{2}\\5-n\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=n+\frac{3}{2},y=5-n$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1$$

Biex tagħmel 2x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\left(18-n\right),2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\left(5n+1\right)$$

Issimplifika.

$$8x+12y=72-4n,8x-2y=10n+2$$

Naqqas 8x-2y=10n+2 minn 8x+12y=72-4n billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$8x-8x+12y+2y=72-4n-10n-2$$

Żid 8x ma' -8x. 8x u -8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$12y+2y=72-4n-10n-2$$

Żid 12y ma' 2y.

$$14y=72-4n-10n-2$$

Żid 72-4n ma' -2-10n.

$$14y=70-14n$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'14.

$$y=5-n$$

Issostitwixxi 5-n għal y f'4x-y=5n+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x-\left(5-n\right)=5n+1$$

Naqqas -5+n miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=4n+6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=n+\frac{3}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=n+\frac{3}{2},y=5-n$$