Issolvi {l}{2x+2y=10}{1/2x+3/4y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 10 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 3 } { 4 } y = 20 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-65$$

$$y=70$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+2y=10$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-2y+10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-2y+10.

$$x=-y+5$$

Issostitwixxi -y+5 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20.

$$\frac{1}{2}\left(-y+5\right)+\frac{3}{4}y=20$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-y+5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}+\frac{3}{4}y=20$$

Żid -\frac{y}{2} ma' \frac{3y}{4}.

$$\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}=20$$

Naqqas \frac{5}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{4}y=\frac{35}{2}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'4.

$$y=70$$

Issostitwixxi 70 għal y f'x=-y+5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-70+5$$

Żid 5 ma' -70.

$$x=-65$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-65,y=70$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{3}{4}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&-\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-4\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 10-4\times 20\\-10+4\times 20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\70\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-65,y=70$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

Biex tagħmel 2x u \frac{x}{2} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'\frac{1}{2} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$\frac{1}{2}\times 2x+\frac{1}{2}\times 2y=\frac{1}{2}\times 10,2\times \frac{1}{2}x+2\times \frac{3}{4}y=2\times 20$$

Issimplifika.

$$x+y=5,x+\frac{3}{2}y=40$$

Naqqas x+\frac{3}{2}y=40 minn x+y=5 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$x-x+y-\frac{3}{2}y=5-40$$

Żid x ma' -x. x u -x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$y-\frac{3}{2}y=5-40$$

Żid y ma' -\frac{3y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y=5-40$$

Żid 5 ma' -40.

$$-\frac{1}{2}y=-35$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=70$$

Issostitwixxi 70 għal y f'\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\times 70=20$$

Immultiplika \frac{3}{4} b'70.

$$\frac{1}{2}x+\frac{105}{2}=20$$

Naqqas \frac{105}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{65}{2}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-65$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-65,y=70$$