Issolvi {l}{2x+14y=-28}{-4x-14y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 14 y = - 28 } \\ { - 4 x - 14 y = 28 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+14y=-28$$

Naqqas 14y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-14y-28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-14y-28\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-14y-28.

$$x=-7y-14$$

Issostitwixxi -7y-14 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -4x-14y=28.

$$-4\left(-7y-14\right)-14y=28$$

Immultiplika -4 b'-7y-14.

$$28y+56-14y=28$$

Żid 28y ma' -14y.

$$14y+56=28$$

Naqqas 56 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$14y=-28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'14.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=-7y-14. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-7\left(-2\right)-14$$

Immultiplika -7 b'-2.

$$x=14-14$$

Żid -14 ma' 14.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&\frac{2}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-28\right)-\frac{1}{2}\times 28\\\frac{1}{7}\left(-28\right)+\frac{1}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=0,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

Biex tagħmel 2x u -4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$-4\times 2x-4\times 14y=-4\left(-28\right),2\left(-4\right)x+2\left(-14\right)y=2\times 28$$

Issimplifika.

$$-8x-56y=112,-8x-28y=56$$

Naqqas -8x-28y=56 minn -8x-56y=112 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-8x+8x-56y+28y=112-56$$

Żid -8x ma' 8x. -8x u 8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-56y+28y=112-56$$

Żid -56y ma' 28y.

$$-28y=112-56$$

Żid 112 ma' -56.

$$-28y=56$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-28.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'-4x-14y=28. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-4x-14\left(-2\right)=28$$

Immultiplika -14 b'-2.

$$-4x+28=28$$

Naqqas 28 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=-2$$