Issolvi {l}{2x+10=4y-16x}{10y-10x=11y-12x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 10 = 4 y - 16 x } \\ { 10 y - 10 x = 11 y - 12 x } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 4y miż-żewġ naħat.

$$2x+10-4y=-16x$$

Żid 16x maż-żewġ naħat.

$$2x+10-4y+16x=0$$

Ikkombina 2x u 16x biex tikseb 18x.

$$18x+10-4y=0$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$18x-4y=-10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 11y miż-żewġ naħat.

$$10y-10x-11y=-12x$$

Ikkombina 10y u -11y biex tikseb -y.

$$-y-10x=-12x$$

Żid 12x maż-żewġ naħat.

$$-y-10x+12x=0$$

Ikkombina -10x u 12x biex tikseb 2x.

$$-y+2x=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$18x-4y=-10$$

Żid 4y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$18x=4y-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'18.

$$x=\frac{1}{18}\left(4y-10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{18} b'4y-10.

$$x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}$$

Issostitwixxi \frac{2y-5}{9} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-y=0.

$$2\left(\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}\right)-y=0$$

Immultiplika 2 b'\frac{2y-5}{9}.

$$\frac{4}{9}y-\frac{10}{9}-y=0$$

Żid \frac{4y}{9} ma' -y.

$$-\frac{5}{9}y-\frac{10}{9}=0$$

Żid \frac{10}{9} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{5}{9}y=\frac{10}{9}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{5}{9}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{2}{9}\left(-2\right)-\frac{5}{9}$$

Immultiplika \frac{2}{9} b'-2.

$$x=\frac{-4-5}{9}$$

Żid -\frac{5}{9} ma' -\frac{4}{9} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 4y miż-żewġ naħat.

$$2x+10-4y=-16x$$

Żid 16x maż-żewġ naħat.

$$2x+10-4y+16x=0$$

Ikkombina 2x u 16x biex tikseb 18x.

$$18x+10-4y=0$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$18x-4y=-10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 11y miż-żewġ naħat.

$$10y-10x-11y=-12x$$

Ikkombina 10y u -11y biex tikseb -y.

$$-y-10x=-12x$$

Żid 12x maż-żewġ naħat.

$$-y-10x+12x=0$$

Ikkombina -10x u 12x biex tikseb 2x.

$$-y+2x=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{18}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-1,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 4y miż-żewġ naħat.

$$2x+10-4y=-16x$$

Żid 16x maż-żewġ naħat.

$$2x+10-4y+16x=0$$

Ikkombina 2x u 16x biex tikseb 18x.

$$18x+10-4y=0$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$18x-4y=-10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 11y miż-żewġ naħat.

$$10y-10x-11y=-12x$$

Ikkombina 10y u -11y biex tikseb -y.

$$-y-10x=-12x$$

Żid 12x maż-żewġ naħat.

$$-y-10x+12x=0$$

Ikkombina -10x u 12x biex tikseb 2x.

$$-y+2x=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

Biex tagħmel 18x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'18.

$$2\times 18x+2\left(-4\right)y=2\left(-10\right),18\times 2x+18\left(-1\right)y=0$$

Issimplifika.

$$36x-8y=-20,36x-18y=0$$

Naqqas 36x-18y=0 minn 36x-8y=-20 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$36x-36x-8y+18y=-20$$

Żid 36x ma' -36x. 36x u -36x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-8y+18y=-20$$

Żid -8y ma' 18y.

$$10y=-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'2x-y=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-\left(-2\right)=0$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=-2$$