Issolvi {l}{2p+3m=8}{p+2m=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 m = 8 } \\ { p + 2 m = 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal p, m

$$p=-2$$

$$m=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal p billi tiżola p fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2p+3m=8$$

Naqqas 3m miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2p=-3m+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3m+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3m+8.

$$p=-\frac{3}{2}m+4$$

Issostitwixxi -\frac{3m}{2}+4 għal p fl-ekwazzjoni l-oħra, p+2m=6.

$$-\frac{3}{2}m+4+2m=6$$

Żid -\frac{3m}{2} ma' 2m.

$$\frac{1}{2}m+4=6$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{2}m=2$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$m=4$$

Issostitwixxi 4 għal m f'p=-\frac{3}{2}m+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal p direttament.

$$p=-\frac{3}{2}\times 4+4$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'4.

$$p=-6+4$$

Żid 4 ma' -6.

$$p=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$p=-2,m=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-3\times 6\\-8+2\times 6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi p u m.

$$p=-2,m=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

Biex tagħmel 2p u p ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$2p+3m=8,2p+2\times 2m=2\times 6$$

Issimplifika.

$$2p+3m=8,2p+4m=12$$

Naqqas 2p+4m=12 minn 2p+3m=8 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2p-2p+3m-4m=8-12$$

Żid 2p ma' -2p. 2p u -2p jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3m-4m=8-12$$

Żid 3m ma' -4m.

$$-m=8-12$$

Żid 8 ma' -12.

$$-m=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$m=4$$

Issostitwixxi 4 għal m f'p+2m=6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal p direttament.

$$p+2\times 4=6$$

Immultiplika 2 b'4.

$$p+8=6$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$p=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$p=-2,m=4$$