Issolvi {l}{2m-3n=130}{-m+5=4n}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 130 } \\ { - m + 5 = 4 n } \end{array} \right.$$

Solvi għal m, n

$$m = \frac{535}{11} = 48\frac{7}{11} \approx 48.636363636$$

$$n = -\frac{120}{11} = -10\frac{10}{11} \approx -10.909090909$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 4n miż-żewġ naħat.

$$-m+5-4n=0$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$-m-4n=-5$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal m billi tiżola m fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2m-3n=130$$

Żid 3n maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2m=3n+130$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+130\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'3n+130.

$$m=\frac{3}{2}n+65$$

Issostitwixxi \frac{3n}{2}+65 għal m fl-ekwazzjoni l-oħra, -m-4n=-5.

$$-\left(\frac{3}{2}n+65\right)-4n=-5$$

Immultiplika -1 b'\frac{3n}{2}+65.

$$-\frac{3}{2}n-65-4n=-5$$

Żid -\frac{3n}{2} ma' -4n.

$$-\frac{11}{2}n-65=-5$$

Żid 65 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{11}{2}n=60$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{11}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$n=-\frac{120}{11}$$

Issostitwixxi -\frac{120}{11} għal n f'm=\frac{3}{2}n+65. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$m=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{11}\right)+65$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'-\frac{120}{11} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$m=-\frac{180}{11}+65$$

Żid 65 ma' -\frac{180}{11}.

$$m=\frac{535}{11}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 4n miż-żewġ naħat.

$$-m+5-4n=0$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$-m-4n=-5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 130-\frac{3}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 130-\frac{2}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{535}{11}\\-\frac{120}{11}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi m u n.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 4n miż-żewġ naħat.

$$-m+5-4n=0$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$-m-4n=-5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

Biex tagħmel 2m u -m ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$-2m-\left(-3n\right)=-130,2\left(-1\right)m+2\left(-4\right)n=2\left(-5\right)$$

Issimplifika.

$$-2m+3n=-130,-2m-8n=-10$$

Naqqas -2m-8n=-10 minn -2m+3n=-130 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2m+2m+3n+8n=-130+10$$

Żid -2m ma' 2m. -2m u 2m jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3n+8n=-130+10$$

Żid 3n ma' 8n.

$$11n=-130+10$$

Żid -130 ma' 10.

$$11n=-120$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'11.

$$n=-\frac{120}{11}$$

Issostitwixxi -\frac{120}{11} għal n f'-m-4n=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$-m-4\left(-\frac{120}{11}\right)=-5$$

Immultiplika -4 b'-\frac{120}{11}.

$$-m+\frac{480}{11}=-5$$

Naqqas \frac{480}{11} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-m=-\frac{535}{11}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$m=\frac{535}{11}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$