Issolvi {l}{2m+3n=22}{m-2n=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 22 } \\ { m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal m, n

$$m = \frac{62}{7} = 8\frac{6}{7} \approx 8.857142857$$

$$n = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal m billi tiżola m fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2m+3n=22$$

Naqqas 3n miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2m=-3n+22$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+22\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3n+22.

$$m=-\frac{3}{2}n+11$$

Issostitwixxi -\frac{3n}{2}+11 għal m fl-ekwazzjoni l-oħra, m-2n=6.

$$-\frac{3}{2}n+11-2n=6$$

Żid -\frac{3n}{2} ma' -2n.

$$-\frac{7}{2}n+11=6$$

Naqqas 11 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{7}{2}n=-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{7}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$n=\frac{10}{7}$$

Issostitwixxi \frac{10}{7} għal n f'm=-\frac{3}{2}n+11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$m=-\frac{3}{2}\times \frac{10}{7}+11$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'\frac{10}{7} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$m=-\frac{15}{7}+11$$

Żid 11 ma' -\frac{15}{7}.

$$m=\frac{62}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 22+\frac{3}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 22-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{62}{7}\\\frac{10}{7}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi m u n.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Biex tagħmel 2m u m ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$2m+3n=22,2m+2\left(-2\right)n=2\times 6$$

Issimplifika.

$$2m+3n=22,2m-4n=12$$

Naqqas 2m-4n=12 minn 2m+3n=22 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2m-2m+3n+4n=22-12$$

Żid 2m ma' -2m. 2m u -2m jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3n+4n=22-12$$

Żid 3n ma' 4n.

$$7n=22-12$$

Żid 22 ma' -12.

$$7n=10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$n=\frac{10}{7}$$

Issostitwixxi \frac{10}{7} għal n f'm-2n=6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$m-2\times \frac{10}{7}=6$$

Immultiplika -2 b'\frac{10}{7}.

$$m-\frac{20}{7}=6$$

Żid \frac{20}{7} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$m=\frac{62}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$