Issolvi {l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal m, n

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal m billi tiżola m fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2m+3n=1$$

Naqqas 3n miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2m=-3n+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-3n+1}{2} għal m fl-ekwazzjoni l-oħra, \frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

Immultiplika \frac{5}{3} b'\frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

Żid -\frac{5n}{2} ma' -2n.

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

Naqqas \frac{5}{6} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{9}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$n=-\frac{1}{27}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{27} għal n f'm=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'-\frac{1}{27} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

Żid \frac{1}{2} ma' \frac{1}{18} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$m=\frac{5}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi m u n.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Biex tagħmel 2m u \frac{5m}{3} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'\frac{5}{3} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

Issimplifika.

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

Naqqas \frac{10}{3}m-4n=2 minn \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3} billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Żid \frac{10m}{3} ma' -\frac{10m}{3}. \frac{10m}{3} u -\frac{10m}{3} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Żid 5n ma' 4n.

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

Żid \frac{5}{3} ma' -2.

$$9n=-\frac{1}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$n=-\frac{1}{27}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{27} għal n f'\frac{5}{3}m-2n=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

Immultiplika -2 b'-\frac{1}{27}.

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

Naqqas \frac{2}{27} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{5}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$m=\frac{5}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$