Issolvi {l}{2a=3b}{7a+2b=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a = 3 b } \\ { 7 a + 2 b = 200 } \end{array} \right.$$

Solvi għal a, b

$$a=24$$

$$b=16$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3b miż-żewġ naħat.

$$2a-3b=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a billi tiżola a fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2a-3b=0$$

Żid 3b maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2a=3b$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$a=\frac{1}{2}\times 3b$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'3b.

$$a=\frac{3}{2}b$$

Issostitwixxi \frac{3b}{2} għal a fl-ekwazzjoni l-oħra, 7a+2b=200.

$$7\times \frac{3}{2}b+2b=200$$

Immultiplika 7 b'\frac{3b}{2}.

$$\frac{21}{2}b+2b=200$$

Żid \frac{21b}{2} ma' 2b.

$$\frac{25}{2}b=200$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{25}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$b=16$$

Issostitwixxi 16 għal b f'a=\frac{3}{2}b. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a=\frac{3}{2}\times 16$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'16.

$$a=24$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=24,b=16$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3b miż-żewġ naħat.

$$2a-3b=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 200\\\frac{2}{25}\times 200\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\16\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a u b.

$$a=24,b=16$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3b miż-żewġ naħat.

$$2a-3b=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

Biex tagħmel 2a u 7a ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'7 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$7\times 2a+7\left(-3\right)b=0,2\times 7a+2\times 2b=2\times 200$$

Issimplifika.

$$14a-21b=0,14a+4b=400$$

Naqqas 14a+4b=400 minn 14a-21b=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$14a-14a-21b-4b=-400$$

Żid 14a ma' -14a. 14a u -14a jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-21b-4b=-400$$

Żid -21b ma' -4b.

$$-25b=-400$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-25.

$$b=16$$

Issostitwixxi 16 għal b f'7a+2b=200. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$7a+2\times 16=200$$

Immultiplika 2 b'16.

$$7a+32=200$$

Naqqas 32 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7a=168$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$a=24$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=24,b=16$$