Issolvi {l}{2a+3b=4}{-2a+3b=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { - 2 a + 3 b = - 16 } \end{array} \right.$$

Solvi għal a, b

$$a=5$$

$$b=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a billi tiżola a fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2a+3b=4$$

Naqqas 3b miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2a=-3b+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3b+4.

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

Issostitwixxi -\frac{3b}{2}+2 għal a fl-ekwazzjoni l-oħra, -2a+3b=-16.

$$-2\left(-\frac{3}{2}b+2\right)+3b=-16$$

Immultiplika -2 b'-\frac{3b}{2}+2.

$$3b-4+3b=-16$$

Żid 3b ma' 3b.

$$6b-4=-16$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6b=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$b=-2$$

Issostitwixxi -2 għal b f'a=-\frac{3}{2}b+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'-2.

$$a=3+2$$

Żid 2 ma' 3.

$$a=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=5,b=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{4}\left(-16\right)\\\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a u b.

$$a=5,b=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Naqqas -2a+3b=-16 minn 2a+3b=4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2a+2a+3b-3b=4+16$$

Żid 3b ma' -3b. 3b u -3b jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2a+2a=4+16$$

Żid 2a ma' 2a.

$$4a=4+16$$

Żid 4 ma' 16.

$$4a=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$a=5$$

Issostitwixxi 5 għal a f'-2a+3b=-16. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal b direttament.

$$-2\times 5+3b=-16$$

Immultiplika -2 b'5.

$$-10+3b=-16$$

Żid 10 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3b=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$b=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=5,b=-2$$