Issolvi {l}{2-y=2(6x+3)+y}{x+4=3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 - y = 2 ( 6 x + 3 ) + y } \\ { x + 4 = 3 y } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=-\frac{10}{19}\approx -0.526315789$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'6x+3.

$$2-y=12x+6+y$$

Naqqas 12x miż-żewġ naħat.

$$2-y-12x=6+y$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$2-y-12x-y=6$$

Ikkombina -y u -y biex tikseb -2y.

$$2-2y-12x=6$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat.

$$-2y-12x=6-2$$

Naqqas 2 minn 6 biex tikseb 4.

$$-2y-12x=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$x+4-3y=0$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$x-3y=-4$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-2y-12x=4$$

Żid 12x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2y=12x+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=-\frac{1}{2}\left(12x+4\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'12x+4.

$$y=-6x-2$$

Issostitwixxi -6x-2 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, -3y+x=-4.

$$-3\left(-6x-2\right)+x=-4$$

Immultiplika -3 b'-6x-2.

$$18x+6+x=-4$$

Żid 18x ma' x.

$$19x+6=-4$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$19x=-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'19.

$$x=-\frac{10}{19}$$

Issostitwixxi -\frac{10}{19} għal x f'y=-6x-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-6\left(-\frac{10}{19}\right)-2$$

Immultiplika -6 b'-\frac{10}{19}.

$$y=\frac{60}{19}-2$$

Żid -2 ma' \frac{60}{19}.

$$y=\frac{22}{19}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'6x+3.

$$2-y=12x+6+y$$

Naqqas 12x miż-żewġ naħat.

$$2-y-12x=6+y$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$2-y-12x-y=6$$

Ikkombina -y u -y biex tikseb -2y.

$$2-2y-12x=6$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat.

$$-2y-12x=6-2$$

Naqqas 2 minn 6 biex tikseb 4.

$$-2y-12x=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$x+4-3y=0$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$x-3y=-4$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{-12}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}&-\frac{6}{19}\\-\frac{3}{38}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}\times 4-\frac{6}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{38}\times 4+\frac{1}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{10}{19}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'6x+3.

$$2-y=12x+6+y$$

Naqqas 12x miż-żewġ naħat.

$$2-y-12x=6+y$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$2-y-12x-y=6$$

Ikkombina -y u -y biex tikseb -2y.

$$2-2y-12x=6$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat.

$$-2y-12x=6-2$$

Naqqas 2 minn 6 biex tikseb 4.

$$-2y-12x=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$x+4-3y=0$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$x-3y=-4$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

Biex tagħmel -2y u -3y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-2.

$$-3\left(-2\right)y-3\left(-12\right)x=-3\times 4,-2\left(-3\right)y-2x=-2\left(-4\right)$$

Issimplifika.

$$6y+36x=-12,6y-2x=8$$

Naqqas 6y-2x=8 minn 6y+36x=-12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6y-6y+36x+2x=-12-8$$

Żid 6y ma' -6y. 6y u -6y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$36x+2x=-12-8$$

Żid 36x ma' 2x.

$$38x=-12-8$$

Żid -12 ma' -8.

$$38x=-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'38.

$$x=-\frac{10}{19}$$

Issostitwixxi -\frac{10}{19} għal x f'-3y+x=-4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-3y-\frac{10}{19}=-4$$

Żid \frac{10}{19} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3y=-\frac{66}{19}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=\frac{22}{19}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$