Issolvi {l}{2(x+3)=3(y+1)+1}{3(x-y-1)=2(x-2)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 ) = 3 ( y + 1 ) + 1 } \\ { 3 ( x - y - 1 ) = 2 ( x - 2 ) } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-1$$

$$y=0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Żid 3 u 1 biex tikseb 4.

$$2x+6=3y+4$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$2x+6-3y=4$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat.

$$2x-3y=4-6$$

Naqqas 6 minn 4 biex tikseb -2.

$$2x-3y=-2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-2.

$$3x-3y-3=2x-4$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

Ikkombina 3x u -2x biex tikseb x.

$$x-3y-3=-4$$

Żid 3 maż-żewġ naħat.

$$x-3y=-4+3$$

Żid -4 u 3 biex tikseb -1.

$$x-3y=-1$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-3y=-2$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=3y-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Issostitwixxi \frac{3y}{2}-1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-3y=-1.

$$\frac{3}{2}y-1-3y=-1$$

Żid \frac{3y}{2} ma' -3y.

$$-\frac{3}{2}y-1=-1$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{3}{2}y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{3}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'x=\frac{3}{2}y-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Żid 3 u 1 biex tikseb 4.

$$2x+6=3y+4$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$2x+6-3y=4$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat.

$$2x-3y=4-6$$

Naqqas 6 minn 4 biex tikseb -2.

$$2x-3y=-2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-2.

$$3x-3y-3=2x-4$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

Ikkombina 3x u -2x biex tikseb x.

$$x-3y-3=-4$$

Żid 3 maż-żewġ naħat.

$$x-3y=-4+3$$

Żid -4 u 3 biex tikseb -1.

$$x-3y=-1$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-1,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Żid 3 u 1 biex tikseb 4.

$$2x+6=3y+4$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$2x+6-3y=4$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat.

$$2x-3y=4-6$$

Naqqas 6 minn 4 biex tikseb -2.

$$2x-3y=-2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-2.

$$3x-3y-3=2x-4$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

Ikkombina 3x u -2x biex tikseb x.

$$x-3y-3=-4$$

Żid 3 maż-żewġ naħat.

$$x-3y=-4+3$$

Żid -4 u 3 biex tikseb -1.

$$x-3y=-1$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

Naqqas x-3y=-1 minn 2x-3y=-2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-x-3y+3y=-2+1$$

Żid -3y ma' 3y. -3y u 3y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2x-x=-2+1$$

Żid 2x ma' -x.

$$x=-2+1$$

Żid -2 ma' 1.

$$x=-1$$

Issostitwixxi -1 għal x f'x-3y=-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-1-3y=-1$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3y=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=0$$