Issolvi {l}{2(x+2)-3(y-1)=13}{3(x+2)+5(y-1)=30.9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 2 ) - 3 ( y - 1 ) = 13 } \\ { 3 ( x + 2 ) + 5 ( y - 1 ) = 30.9 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=6.3$$

$$y=2.2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

Immultiplika 2 b'x+2.

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

Immultiplika -3 b'y-1.

$$2x+4-3y+3=13$$

Żid 4 ma' 3.

$$2x-3y+7=13$$

Naqqas 7 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x-3y=6$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=3y+6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'6+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+3$$

Issostitwixxi \frac{3y}{2}+3 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9.

$$3\left(\frac{3}{2}y+3+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Żid 3 ma' 2.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Immultiplika 3 b'\frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+5\left(y-1\right)=30.9$$

Immultiplika 5 b'y-1.

$$\frac{9}{2}y+15+5y-5=30.9$$

Żid \frac{9y}{2} ma' 5y.

$$\frac{19}{2}y+15-5=30.9$$

Żid 15 ma' -5.

$$\frac{19}{2}y+10=30.9$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{19}{2}y=20.9$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{19}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{11}{5}$$

Issostitwixxi \frac{11}{5} għal y f'x=\frac{3}{2}y+3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{11}{5}+3$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'\frac{11}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{33}{10}+3$$

Żid 3 ma' \frac{33}{10}.

$$x=\frac{63}{10}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Issimplifika l-ewwel ekwazzjoni biex tqiegħda fil-forma standard.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

Immultiplika 2 b'x+2.

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

Immultiplika -3 b'y-1.

$$2x+4-3y+3=13$$

Żid 4 ma' 3.

$$2x-3y+7=13$$

Naqqas 7 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x-3y=6$$

Issimplifika t-tieni ekwazzjoni biex tqiegħda fil-forma standard.

$$3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Immultiplika 3 b'x+2.

$$3x+6+5\left(y-1\right)=30.9$$

Immultiplika 5 b'y-1.

$$3x+6+5y-5=30.9$$

Żid 6 ma' -5.

$$3x+5y+1=30.9$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x+5y=29.9$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 6+\frac{3}{19}\times 29.9\\-\frac{3}{19}\times 6+\frac{2}{19}\times 29.9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{10}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$