Issolvi {l}{2(3x-4)+3y=31}{x/2-y/5=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - 4 ) + 3 y = 31 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 5 } = 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{76}{9} = 8\frac{4}{9} \approx 8.444444444$$

$$y = -\frac{35}{9} = -3\frac{8}{9} \approx -3.888888889$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

Żid 8 maż-żewġ naħat.

$$6x+3y=31+8$$

Żid 31 u 8 biex tikseb 39.

$$6x+3y=39$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'10, l-inqas denominatur komuni ta' 2,5.

$$5x-2y=50$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6x+3y=39$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=-3y+39$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+39\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'-3y+39.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-y+13}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x-2y=50.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-2y=50$$

Immultiplika 5 b'\frac{-y+13}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{65}{2}-2y=50$$

Żid -\frac{5y}{2} ma' -2y.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{65}{2}=50$$

Naqqas \frac{65}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{35}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{9}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{35}{9}$$

Issostitwixxi -\frac{35}{9} għal y f'x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{35}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'-\frac{35}{9} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{13}{2}$$

Żid \frac{13}{2} ma' \frac{35}{18} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{76}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

Żid 8 maż-żewġ naħat.

$$6x+3y=31+8$$

Żid 31 u 8 biex tikseb 39.

$$6x+3y=39$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'10, l-inqas denominatur komuni ta' 2,5.

$$5x-2y=50$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-3\times 5}&-\frac{3}{6\left(-2\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-2\right)-3\times 5}&\frac{6}{6\left(-2\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 39+\frac{1}{9}\times 50\\\frac{5}{27}\times 39-\frac{2}{9}\times 50\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{9}\\-\frac{35}{9}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

Żid 8 maż-żewġ naħat.

$$6x+3y=31+8$$

Żid 31 u 8 biex tikseb 39.

$$6x+3y=39$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'10, l-inqas denominatur komuni ta' 2,5.

$$5x-2y=50$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Biex tagħmel 6x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$5\times 6x+5\times 3y=5\times 39,6\times 5x+6\left(-2\right)y=6\times 50$$

Issimplifika.

$$30x+15y=195,30x-12y=300$$

Naqqas 30x-12y=300 minn 30x+15y=195 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$30x-30x+15y+12y=195-300$$

Żid 30x ma' -30x. 30x u -30x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$15y+12y=195-300$$

Żid 15y ma' 12y.

$$27y=195-300$$

Żid 195 ma' -300.

$$27y=-105$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'27.

$$y=-\frac{35}{9}$$

Issostitwixxi -\frac{35}{9} għal y f'5x-2y=50. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x-2\left(-\frac{35}{9}\right)=50$$

Immultiplika -2 b'-\frac{35}{9}.

$$5x+\frac{70}{9}=50$$

Naqqas \frac{70}{9} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=\frac{380}{9}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{76}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$