Issolvi {l}{2(2x-3)+3(y+4)=7}{4(x+2)-5(2-y)=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x - 3 ) + 3 ( y + 4 ) = 7 } \\ { 4 ( x + 2 ) - 5 ( 2 - y ) = - 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

Immultiplika 2 b'2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

Immultiplika 3 b'y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

Żid -6 ma' 12.

$$4x+3y+6=7$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x+3y=1$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-3y+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-3y+1.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Issostitwixxi \frac{-3y+1}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Żid \frac{1}{4} ma' 2.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Immultiplika 4 b'\frac{-3y+9}{4}.

$$-3y+9-5\left(-y+2\right)=-3$$

Immultiplika -5 b'-y+2.

$$-3y+9+5y-10=-3$$

Żid -3y ma' 5y.

$$2y+9-10=-3$$

Żid 9 ma' -10.

$$2y-1=-3$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}$$

Immultiplika -\frac{3}{4} b'-1.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

Żid \frac{1}{4} ma' \frac{3}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Issimplifika l-ewwel ekwazzjoni biex tqiegħda fil-forma standard.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

Immultiplika 2 b'2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

Immultiplika 3 b'y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

Żid -6 ma' 12.

$$4x+3y+6=7$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x+3y=1$$

Issimplifika t-tieni ekwazzjoni biex tqiegħda fil-forma standard.

$$4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Immultiplika 4 b'x+2.

$$4x+8-5\left(-y+2\right)=-3$$

Immultiplika -5 b'-y+2.

$$4x+8+5y-10=-3$$

Żid 8 ma' -10.

$$4x+5y-2=-3$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x+5y=-1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-3\times 4}&\frac{4}{4\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}-\frac{3}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=-1$$