Issolvi {l}{1911(x+y)+105(x-y)=2016*190}{105(x+y)+1911(x-y)=116*201}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1911 ( x + y ) + 105 ( x - y ) = 2016 \times 190 } \\ { 105 ( x + y ) + 1911 ( x - y ) = 116 \times 201 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{33863}{336} = 100\frac{263}{336} \approx 100.782738095$$

$$y = \frac{29977}{301} = 99\frac{178}{301} \approx 99.591362126$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 1911 b'x+y.

$$1911x+1911y+105\left(x-y\right)=2016\times 190$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 105 b'x-y.

$$1911x+1911y+105x-105y=2016\times 190$$

Ikkombina 1911x u 105x biex tikseb 2016x.

$$2016x+1911y-105y=2016\times 190$$

Ikkombina 1911y u -105y biex tikseb 1806y.

$$2016x+1806y=2016\times 190$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 105 b'x+y.

$$105x+105y+1911\left(x-y\right)=116\times 201$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 1911 b'x-y.

$$105x+105y+1911x-1911y=116\times 201$$

Ikkombina 105x u 1911x biex tikseb 2016x.

$$2016x+105y-1911y=116\times 201$$

Ikkombina 105y u -1911y biex tikseb -1806y.

$$2016x-1806y=116\times 201$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2016x+1806y=383040,2016x-1806y=23316$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2016x+1806y=383040$$

Naqqas 1806y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2016x=-1806y+383040$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2016.

$$x=\frac{1}{2016}\left(-1806y+383040\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2016} b'-1806y+383040.

$$x=-\frac{43}{48}y+190$$

Issostitwixxi -\frac{43y}{48}+190 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2016x-1806y=23316.

$$2016\left(-\frac{43}{48}y+190\right)-1806y=23316$$

Immultiplika 2016 b'-\frac{43y}{48}+190.

$$-1806y+383040-1806y=23316$$

Żid -1806y ma' -1806y.

$$-3612y+383040=23316$$

Naqqas 383040 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3612y=-359724$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3612.

$$y=\frac{29977}{301}$$

Issostitwixxi \frac{29977}{301} għal y f'x=-\frac{43}{48}y+190. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{43}{48}\times \frac{29977}{301}+190$$

Immultiplika -\frac{43}{48} b'\frac{29977}{301} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{29977}{336}+190$$

Żid 190 ma' -\frac{29977}{336}.

$$x=\frac{33863}{336}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{33863}{336},y=\frac{29977}{301}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 1911 b'x+y.

$$1911x+1911y+105\left(x-y\right)=2016\times 190$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 105 b'x-y.

$$1911x+1911y+105x-105y=2016\times 190$$

Ikkombina 1911x u 105x biex tikseb 2016x.

$$2016x+1911y-105y=2016\times 190$$

Ikkombina 1911y u -105y biex tikseb 1806y.

$$2016x+1806y=2016\times 190$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 105 b'x+y.

$$105x+105y+1911\left(x-y\right)=116\times 201$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 1911 b'x-y.

$$105x+105y+1911x-1911y=116\times 201$$

Ikkombina 105x u 1911x biex tikseb 2016x.

$$2016x+105y-1911y=116\times 201$$

Ikkombina 105y u -1911y biex tikseb -1806y.

$$2016x-1806y=116\times 201$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2016x+1806y=383040,2016x-1806y=23316$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2016&1806\\2016&-1806\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}383040\\23316\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2016&1806\\2016&-1806\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2016&1806\\2016&-1806\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2016&1806\\2016&-1806\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2016&1806\\2016&-1806\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}383040\\23316\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2016&1806\\2016&-1806\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}383040\\23316\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2016&1806\\2016&-1806\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}383040\\23316\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1806}{2016\left(-1806\right)-1806\times 2016}&-\frac{1806}{2016\left(-1806\right)-1806\times 2016}\\-\frac{2016}{2016\left(-1806\right)-1806\times 2016}&\frac{2016}{2016\left(-1806\right)-1806\times 2016}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}383040\\23316\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4032}&\frac{1}{4032}\\\frac{1}{3612}&-\frac{1}{3612}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}383040\\23316\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4032}\times 383040+\frac{1}{4032}\times 23316\\\frac{1}{3612}\times 383040-\frac{1}{3612}\times 23316\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33863}{336}\\\frac{29977}{301}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{33863}{336},y=\frac{29977}{301}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 1911 b'x+y.

$$1911x+1911y+105\left(x-y\right)=2016\times 190$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 105 b'x-y.

$$1911x+1911y+105x-105y=2016\times 190$$

Ikkombina 1911x u 105x biex tikseb 2016x.

$$2016x+1911y-105y=2016\times 190$$

Ikkombina 1911y u -105y biex tikseb 1806y.

$$2016x+1806y=2016\times 190$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 105 b'x+y.

$$105x+105y+1911\left(x-y\right)=116\times 201$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 1911 b'x-y.

$$105x+105y+1911x-1911y=116\times 201$$

Ikkombina 105x u 1911x biex tikseb 2016x.

$$2016x+105y-1911y=116\times 201$$

Ikkombina 105y u -1911y biex tikseb -1806y.

$$2016x-1806y=116\times 201$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2016x+1806y=383040,2016x-1806y=23316$$

Naqqas 2016x-1806y=23316 minn 2016x+1806y=383040 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2016x-2016x+1806y+1806y=383040-23316$$

Żid 2016x ma' -2016x. 2016x u -2016x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$1806y+1806y=383040-23316$$

Żid 1806y ma' 1806y.

$$3612y=383040-23316$$

Żid 383040 ma' -23316.

$$3612y=359724$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3612.

$$y=\frac{29977}{301}$$

Issostitwixxi \frac{29977}{301} għal y f'2016x-1806y=23316. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2016x-1806\times \frac{29977}{301}=23316$$

Immultiplika -1806 b'\frac{29977}{301}.

$$2016x-179862=23316$$

Żid 179862 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2016x=203178$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2016.

$$x=\frac{33863}{336}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{33863}{336},y=\frac{29977}{301}$$