Issolvi {l}{16m+50n=55}{2m+4n=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 m + 50 n = 55 } \\ { 2 m + 4 n = 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal m, n

$$m=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$n=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal m billi tiżola m fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$16m+50n=55$$

Naqqas 50n miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$16m=-50n+55$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'16.

$$m=\frac{1}{16}\left(-50n+55\right)$$

Immultiplika \frac{1}{16} b'-50n+55.

$$m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}$$

Issostitwixxi -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16} għal m fl-ekwazzjoni l-oħra, 2m+4n=5.

$$2\left(-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}\right)+4n=5$$

Immultiplika 2 b'-\frac{25n}{8}+\frac{55}{16}.

$$-\frac{25}{4}n+\frac{55}{8}+4n=5$$

Żid -\frac{25n}{4} ma' 4n.

$$-\frac{9}{4}n+\frac{55}{8}=5$$

Naqqas \frac{55}{8} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{9}{4}n=-\frac{15}{8}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{9}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$n=\frac{5}{6}$$

Issostitwixxi \frac{5}{6} għal n f'm=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$m=-\frac{25}{8}\times \frac{5}{6}+\frac{55}{16}$$

Immultiplika -\frac{25}{8} b'\frac{5}{6} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$m=-\frac{125}{48}+\frac{55}{16}$$

Żid \frac{55}{16} ma' -\frac{125}{48} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$m=\frac{5}{6}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{16\times 4-50\times 2}&-\frac{50}{16\times 4-50\times 2}\\-\frac{2}{16\times 4-50\times 2}&\frac{16}{16\times 4-50\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{25}{18}\\\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 55+\frac{25}{18}\times 5\\\frac{1}{18}\times 55-\frac{4}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi m u n.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Biex tagħmel 16m u 2m ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'16.

$$2\times 16m+2\times 50n=2\times 55,16\times 2m+16\times 4n=16\times 5$$

Issimplifika.

$$32m+100n=110,32m+64n=80$$

Naqqas 32m+64n=80 minn 32m+100n=110 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$32m-32m+100n-64n=110-80$$

Żid 32m ma' -32m. 32m u -32m jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$100n-64n=110-80$$

Żid 100n ma' -64n.

$$36n=110-80$$

Żid 110 ma' -80.

$$36n=30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'36.

$$n=\frac{5}{6}$$

Issostitwixxi \frac{5}{6} għal n f'2m+4n=5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$2m+4\times \frac{5}{6}=5$$

Immultiplika 4 b'\frac{5}{6}.

$$2m+\frac{10}{3}=5$$

Naqqas \frac{10}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2m=\frac{5}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$m=\frac{5}{6}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$