Issolvi {l}{14p+20q=13}{15p-25q=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 14 p + 20 q = 13 } \\ { 15 p - 25 q = 13 } \end{array} \right.$$

Solvi għal p, q

$$p=\frac{9}{10}=0.9$$

$$q=\frac{1}{50}=0.02$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$14p+20q=13,15p-25q=13$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal p billi tiżola p fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$14p+20q=13$$

Naqqas 20q miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$14p=-20q+13$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'14.

$$p=\frac{1}{14}\left(-20q+13\right)$$

Immultiplika \frac{1}{14} b'-20q+13.

$$p=-\frac{10}{7}q+\frac{13}{14}$$

Issostitwixxi -\frac{10q}{7}+\frac{13}{14} għal p fl-ekwazzjoni l-oħra, 15p-25q=13.

$$15\left(-\frac{10}{7}q+\frac{13}{14}\right)-25q=13$$

Immultiplika 15 b'-\frac{10q}{7}+\frac{13}{14}.

$$-\frac{150}{7}q+\frac{195}{14}-25q=13$$

Żid -\frac{150q}{7} ma' -25q.

$$-\frac{325}{7}q+\frac{195}{14}=13$$

Naqqas \frac{195}{14} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{325}{7}q=-\frac{13}{14}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{325}{7}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$q=\frac{1}{50}$$

Issostitwixxi \frac{1}{50} għal q f'p=-\frac{10}{7}q+\frac{13}{14}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal p direttament.

$$p=-\frac{10}{7}\times \frac{1}{50}+\frac{13}{14}$$

Immultiplika -\frac{10}{7} b'\frac{1}{50} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$p=-\frac{1}{35}+\frac{13}{14}$$

Żid \frac{13}{14} ma' -\frac{1}{35} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$p=\frac{9}{10}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$p=\frac{9}{10},q=\frac{1}{50}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$14p+20q=13,15p-25q=13$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{25}{14\left(-25\right)-20\times 15}&-\frac{20}{14\left(-25\right)-20\times 15}\\-\frac{15}{14\left(-25\right)-20\times 15}&\frac{14}{14\left(-25\right)-20\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{26}&\frac{2}{65}\\\frac{3}{130}&-\frac{7}{325}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{26}\times 13+\frac{2}{65}\times 13\\\frac{3}{130}\times 13-\frac{7}{325}\times 13\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}\\\frac{1}{50}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi p u q.

$$p=\frac{9}{10},q=\frac{1}{50}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$14p+20q=13,15p-25q=13$$

Biex tagħmel 14p u 15p ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'15 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'14.

$$15\times 14p+15\times 20q=15\times 13,14\times 15p+14\left(-25\right)q=14\times 13$$

Issimplifika.

$$210p+300q=195,210p-350q=182$$

Naqqas 210p-350q=182 minn 210p+300q=195 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$210p-210p+300q+350q=195-182$$

Żid 210p ma' -210p. 210p u -210p jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$300q+350q=195-182$$

Żid 300q ma' 350q.

$$650q=195-182$$

Żid 195 ma' -182.

$$650q=13$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'650.

$$q=\frac{1}{50}$$

Issostitwixxi \frac{1}{50} għal q f'15p-25q=13. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal p direttament.

$$15p-25\times \frac{1}{50}=13$$

Immultiplika -25 b'\frac{1}{50}.

$$15p-\frac{1}{2}=13$$

Żid \frac{1}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$15p=\frac{27}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'15.

$$p=\frac{9}{10}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$p=\frac{9}{10},q=\frac{1}{50}$$