Issolvi {l}{12=a+b}{2=6a+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 12 = a + b } \\ { 2 = 6 a + b } \end{array} \right.$$

Solvi għal a, b

$$a=-2$$

$$b=14$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$a+b=12$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$6a+b=2$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$a+b=12,6a+b=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a billi tiżola a fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$a+b=12$$

Naqqas b miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$a=-b+12$$

Issostitwixxi -b+12 għal a fl-ekwazzjoni l-oħra, 6a+b=2.

$$6\left(-b+12\right)+b=2$$

Immultiplika 6 b'-b+12.

$$-6b+72+b=2$$

Żid -6b ma' b.

$$-5b+72=2$$

Naqqas 72 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5b=-70$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$b=14$$

Issostitwixxi 14 għal b f'a=-b+12. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a=-14+12$$

Żid 12 ma' -14.

$$a=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=-2,b=14$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$a+b=12$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$6a+b=2$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$a+b=12,6a+b=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-6}&-\frac{1}{1-6}\\-\frac{6}{1-6}&\frac{1}{1-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{6}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 12+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{6}{5}\times 12-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\14\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a u b.

$$a=-2,b=14$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$a+b=12$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$6a+b=2$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$a+b=12,6a+b=2$$

Naqqas 6a+b=2 minn a+b=12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$a-6a+b-b=12-2$$

Żid b ma' -b. b u -b jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$a-6a=12-2$$

Żid a ma' -6a.

$$-5a=12-2$$

Żid 12 ma' -2.

$$-5a=10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$a=-2$$

Issostitwixxi -2 għal a f'6a+b=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal b direttament.

$$6\left(-2\right)+b=2$$

Immultiplika 6 b'-2.

$$-12+b=2$$

Żid 12 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$b=14$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=-2,b=14$$