Issolvi {l}{11x+19y=25}{19x+11y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$11x+19y=25$$

Naqqas 19y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$11x=-19y+25$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'11.

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

Immultiplika \frac{1}{11} b'-19y+25.

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

Issostitwixxi \frac{-19y+25}{11} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 19x+11y=15.

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

Immultiplika 19 b'\frac{-19y+25}{11}.

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

Żid -\frac{361y}{11} ma' 11y.

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

Naqqas \frac{475}{11} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{240}{11}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{31}{24}$$

Issostitwixxi \frac{31}{24} għal y f'x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

Immultiplika -\frac{19}{11} b'\frac{31}{24} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

Żid \frac{25}{11} ma' -\frac{589}{264} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{1}{24}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Biex tagħmel 11x u 19x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'19 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'11.

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

Issimplifika.

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

Naqqas 209x+121y=165 minn 209x+361y=475 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

Żid 209x ma' -209x. 209x u -209x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$361y-121y=475-165$$

Żid 361y ma' -121y.

$$240y=475-165$$

Żid 475 ma' -165.

$$240y=310$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'240.

$$y=\frac{31}{24}$$

Issostitwixxi \frac{31}{24} għal y f'19x+11y=15. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

Immultiplika 11 b'\frac{31}{24}.

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

Naqqas \frac{341}{24} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$19x=\frac{19}{24}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'19.

$$x=\frac{1}{24}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$