Issolvi {l}{11a_{1}+8a_{2}=-8}{8a_{1}+11a_{2}=-26/5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 a _ { 1 } + 8 a _ { 2 } = - 8 } \\ { 8 a _ { 1 } + 11 a _ { 2 } = - \frac { 26 } { 5 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal a_1, a_2

$$a_{1}=-\frac{232}{285}\approx -0.814035088$$

$$a_{2}=\frac{34}{285}\approx 0.119298246$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$11a_{1}+8a_{2}=-8,8a_{1}+11a_{2}=-\frac{26}{5}$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a_{1} billi tiżola a_{1} fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$11a_{1}+8a_{2}=-8$$

Naqqas 8a_{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$11a_{1}=-8a_{2}-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'11.

$$a_{1}=\frac{1}{11}\left(-8a_{2}-8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{11} b'-8a_{2}-8.

$$a_{1}=-\frac{8}{11}a_{2}-\frac{8}{11}$$

Issostitwixxi \frac{-8a_{2}-8}{11} għal a_{1} fl-ekwazzjoni l-oħra, 8a_{1}+11a_{2}=-\frac{26}{5}.

$$8\left(-\frac{8}{11}a_{2}-\frac{8}{11}\right)+11a_{2}=-\frac{26}{5}$$

Immultiplika 8 b'\frac{-8a_{2}-8}{11}.

$$-\frac{64}{11}a_{2}-\frac{64}{11}+11a_{2}=-\frac{26}{5}$$

Żid -\frac{64a_{2}}{11} ma' 11a_{2}.

$$\frac{57}{11}a_{2}-\frac{64}{11}=-\frac{26}{5}$$

Żid \frac{64}{11} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{57}{11}a_{2}=\frac{34}{55}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{57}{11}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$a_{2}=\frac{34}{285}$$

Issostitwixxi \frac{34}{285} għal a_{2} f'a_{1}=-\frac{8}{11}a_{2}-\frac{8}{11}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a_{1} direttament.

$$a_{1}=-\frac{8}{11}\times \frac{34}{285}-\frac{8}{11}$$

Immultiplika -\frac{8}{11} b'\frac{34}{285} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$a_{1}=-\frac{272}{3135}-\frac{8}{11}$$

Żid -\frac{8}{11} ma' -\frac{272}{3135} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$a_{1}=-\frac{232}{285}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a_{1}=-\frac{232}{285},a_{2}=\frac{34}{285}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$11a_{1}+8a_{2}=-8,8a_{1}+11a_{2}=-\frac{26}{5}$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}11&8\\8&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\a_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-\frac{26}{5}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}11&8\\8&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&8\\8&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&8\\8&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\a_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&8\\8&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-\frac{26}{5}\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\a_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&8\\8&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-\frac{26}{5}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\a_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&8\\8&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-\frac{26}{5}\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\a_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-8\times 8}&-\frac{8}{11\times 11-8\times 8}\\-\frac{8}{11\times 11-8\times 8}&\frac{11}{11\times 11-8\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-\frac{26}{5}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\a_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{57}&-\frac{8}{57}\\-\frac{8}{57}&\frac{11}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-\frac{26}{5}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\a_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{57}\left(-8\right)-\frac{8}{57}\left(-\frac{26}{5}\right)\\-\frac{8}{57}\left(-8\right)+\frac{11}{57}\left(-\frac{26}{5}\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\a_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{232}{285}\\\frac{34}{285}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a_{1} u a_{2}.

$$a_{1}=-\frac{232}{285},a_{2}=\frac{34}{285}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$11a_{1}+8a_{2}=-8,8a_{1}+11a_{2}=-\frac{26}{5}$$

Biex tagħmel 11a_{1} u 8a_{1} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'8 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'11.

$$8\times 11a_{1}+8\times 8a_{2}=8\left(-8\right),11\times 8a_{1}+11\times 11a_{2}=11\left(-\frac{26}{5}\right)$$

Issimplifika.

$$88a_{1}+64a_{2}=-64,88a_{1}+121a_{2}=-\frac{286}{5}$$

Naqqas 88a_{1}+121a_{2}=-\frac{286}{5} minn 88a_{1}+64a_{2}=-64 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$88a_{1}-88a_{1}+64a_{2}-121a_{2}=-64+\frac{286}{5}$$

Żid 88a_{1} ma' -88a_{1}. 88a_{1} u -88a_{1} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$64a_{2}-121a_{2}=-64+\frac{286}{5}$$

Żid 64a_{2} ma' -121a_{2}.

$$-57a_{2}=-64+\frac{286}{5}$$

Żid -64 ma' \frac{286}{5}.

$$-57a_{2}=-\frac{34}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-57.

$$a_{2}=\frac{34}{285}$$

Issostitwixxi \frac{34}{285} għal a_{2} f'8a_{1}+11a_{2}=-\frac{26}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a_{1} direttament.

$$8a_{1}+11\times \frac{34}{285}=-\frac{26}{5}$$

Immultiplika 11 b'\frac{34}{285}.

$$8a_{1}+\frac{374}{285}=-\frac{26}{5}$$

Naqqas \frac{374}{285} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8a_{1}=-\frac{1856}{285}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$a_{1}=-\frac{232}{285}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a_{1}=-\frac{232}{285},a_{2}=\frac{34}{285}$$