Issolvi {l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=4$$

$$y=7$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 6y miż-żewġ naħat.

$$10x+y-6y=5$$

Ikkombina y u -6y biex tikseb -5y.

$$10x-5y=5$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 10x miż-żewġ naħat.

$$10y+x-10x=y+27$$

Ikkombina x u -10x biex tikseb -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$10y-9x-y=27$$

Ikkombina 10y u -y biex tikseb 9y.

$$9y-9x=27$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$10x-5y=5$$

Żid 5y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$10x=5y+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{10} b'5+5y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi \frac{1+y}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -9x+9y=27.

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

Immultiplika -9 b'\frac{1+y}{2}.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

Żid -\frac{9y}{2} ma' 9y.

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

Żid \frac{9}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{9}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=7$$

Issostitwixxi 7 għal y f'x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'7.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

Żid \frac{1}{2} ma' \frac{7}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=7$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 6y miż-żewġ naħat.

$$10x+y-6y=5$$

Ikkombina y u -6y biex tikseb -5y.

$$10x-5y=5$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 10x miż-żewġ naħat.

$$10y+x-10x=y+27$$

Ikkombina x u -10x biex tikseb -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$10y-9x-y=27$$

Ikkombina 10y u -y biex tikseb 9y.

$$9y-9x=27$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=4,y=7$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 6y miż-żewġ naħat.

$$10x+y-6y=5$$

Ikkombina y u -6y biex tikseb -5y.

$$10x-5y=5$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 10x miż-żewġ naħat.

$$10y+x-10x=y+27$$

Ikkombina x u -10x biex tikseb -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$10y-9x-y=27$$

Ikkombina 10y u -y biex tikseb 9y.

$$9y-9x=27$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Biex tagħmel 10x u -9x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-9 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'10.

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

Issimplifika.

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

Naqqas -90x+90y=270 minn -90x+45y=-45 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

Żid -90x ma' 90x. -90x u 90x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$45y-90y=-45-270$$

Żid 45y ma' -90y.

$$-45y=-45-270$$

Żid -45 ma' -270.

$$-45y=-315$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-45.

$$y=7$$

Issostitwixxi 7 għal y f'-9x+9y=27. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-9x+9\times 7=27$$

Immultiplika 9 b'7.

$$-9x+63=27$$

Naqqas 63 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-9x=-36$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-9.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=7$$