Issolvi {l}{0.5x+0.7y=35}{x+0.4y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x + 0.7 y = 35 } \\ { x + 0.4 y = 40 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=28$$

$$y=30$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$0.5x+0.7y=35$$

Naqqas \frac{7y}{10} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$0.5x=-0.7y+35$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$x=2\left(-0.7y+35\right)$$

Immultiplika 2 b'-\frac{7y}{10}+35.

$$x=-1.4y+70$$

Issostitwixxi -\frac{7y}{5}+70 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+0.4y=40.

$$-1.4y+70+0.4y=40$$

Żid -\frac{7y}{5} ma' \frac{2y}{5}.

$$-y+70=40$$

Naqqas 70 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=-30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=30$$

Issostitwixxi 30 għal y f'x=-1.4y+70. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-1.4\times 30+70$$

Immultiplika -1.4 b'30.

$$x=-42+70$$

Żid 70 ma' -42.

$$x=28$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=28,y=30$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.4}{0.5\times 0.4-0.7}&-\frac{0.7}{0.5\times 0.4-0.7}\\-\frac{1}{0.5\times 0.4-0.7}&\frac{0.5}{0.5\times 0.4-0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8&1.4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\times 35+1.4\times 40\\2\times 35-40\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\30\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=28,y=30$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Biex tagħmel \frac{x}{2} u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'0.5.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.5\times 0.4y=0.5\times 40$$

Issimplifika.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.2y=20$$

Naqqas 0.5x+0.2y=20 minn 0.5x+0.7y=35 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$0.5x-0.5x+0.7y-0.2y=35-20$$

Żid \frac{x}{2} ma' -\frac{x}{2}. \frac{x}{2} u -\frac{x}{2} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$0.7y-0.2y=35-20$$

Żid \frac{7y}{10} ma' -\frac{y}{5}.

$$0.5y=35-20$$

Żid 35 ma' -20.

$$0.5y=15$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$y=30$$

Issostitwixxi 30 għal y f'x+0.4y=40. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+0.4\times 30=40$$

Immultiplika 0.4 b'30.

$$x+12=40$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=28$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=28,y=30$$