Issolvi {l}{0.3x+0.1y=0.5}{0.1x-0.3y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x + 0.1 y = 0.5 } \\ { 0.1 x - 0.3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2.5$$

$$y=-2.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$0.3x+0.1y=0.5,0.1x-0.3y=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$0.3x+0.1y=0.5$$

Naqqas \frac{y}{10} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$0.3x=-0.1y+0.5$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'0.3, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=\frac{10}{3}\left(-0.1y+0.5\right)$$

Immultiplika \frac{10}{3} b'-\frac{y}{10}+0.5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-y+5}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 0.1x-0.3y=1.

$$0.1\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)-0.3y=1$$

Immultiplika 0.1 b'\frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{1}{30}y+\frac{1}{6}-0.3y=1$$

Żid -\frac{y}{30} ma' -\frac{3y}{10}.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=1$$

Naqqas \frac{1}{6} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{6}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=-2.5$$

Issostitwixxi -2.5 għal y f'x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2.5\right)+\frac{5}{3}$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'-2.5 billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{5}{6}+\frac{5}{3}$$

Żid \frac{5}{3} ma' \frac{5}{6} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=2.5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2.5,y=-2.5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$0.3x+0.1y=0.5,0.1x-0.3y=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.5\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.3}{0.3\left(-0.3\right)-0.1\times 0.1}&-\frac{0.1}{0.3\left(-0.3\right)-0.1\times 0.1}\\-\frac{0.1}{0.3\left(-0.3\right)-0.1\times 0.1}&\frac{0.3}{0.3\left(-0.3\right)-0.1\times 0.1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.5\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.5\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 0.5+1\\0.5-3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.5\\-2.5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2.5,y=-2.5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$0.3x+0.1y=0.5,0.1x-0.3y=1$$

Biex tagħmel \frac{3x}{10} u \frac{x}{10} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'0.1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'0.3.

$$0.1\times 0.3x+0.1\times 0.1y=0.1\times 0.5,0.3\times 0.1x+0.3\left(-0.3\right)y=0.3$$

Issimplifika.

$$0.03x+0.01y=0.05,0.03x-0.09y=0.3$$

Naqqas 0.03x-0.09y=0.3 minn 0.03x+0.01y=0.05 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$0.03x-0.03x+0.01y+0.09y=0.05-0.3$$

Żid \frac{3x}{100} ma' -\frac{3x}{100}. \frac{3x}{100} u -\frac{3x}{100} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$0.01y+0.09y=0.05-0.3$$

Żid \frac{y}{100} ma' \frac{9y}{100}.

$$0.1y=0.05-0.3$$

Żid 0.05 ma' -0.3 biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$0.1y=-0.25$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'10.

$$y=-2.5$$

Issostitwixxi -2.5 għal y f'0.1x-0.3y=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$0.1x-0.3\left(-2.5\right)=1$$

Immultiplika -0.3 b'-2.5 billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$0.1x+0.75=1$$

Naqqas 0.75 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$0.1x=0.25$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'10.

$$x=2.5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2.5,y=-2.5$$