Issolvi {l}{0.07r+0.02t=0.16}{0.05r-0.03t=0.21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.07 r + 0.02 t = 0.16 } \\ { 0.05 r - 0.03 t = 0.21 } \end{array} \right.$$

Solvi għal r, t

$$r = \frac{90}{31} = 2\frac{28}{31} \approx 2.903225806$$

$$t = -\frac{67}{31} = -2\frac{5}{31} \approx -2.161290323$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal r billi tiżola r fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$0.07r+0.02t=0.16$$

Naqqas \frac{t}{50} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$0.07r=-0.02t+0.16$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'0.07, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$r=\frac{100}{7}\left(-0.02t+0.16\right)$$

Immultiplika \frac{100}{7} b'-\frac{t}{50}+0.16.

$$r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}$$

Issostitwixxi \frac{-2t+16}{7} għal r fl-ekwazzjoni l-oħra, 0.05r-0.03t=0.21.

$$0.05\left(-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}\right)-0.03t=0.21$$

Immultiplika 0.05 b'\frac{-2t+16}{7}.

$$-\frac{1}{70}t+\frac{4}{35}-0.03t=0.21$$

Żid -\frac{t}{70} ma' -\frac{3t}{100}.

$$-\frac{31}{700}t+\frac{4}{35}=0.21$$

Naqqas \frac{4}{35} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{31}{700}t=\frac{67}{700}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{31}{700}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$t=-\frac{67}{31}$$

Issostitwixxi -\frac{67}{31} għal t f'r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal r direttament.

$$r=-\frac{2}{7}\left(-\frac{67}{31}\right)+\frac{16}{7}$$

Immultiplika -\frac{2}{7} b'-\frac{67}{31} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$r=\frac{134}{217}+\frac{16}{7}$$

Żid \frac{16}{7} ma' \frac{134}{217} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$r=\frac{90}{31}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&-\frac{0.02}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\\-\frac{0.05}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&\frac{0.07}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}&\frac{200}{31}\\\frac{500}{31}&-\frac{700}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}\times 0.16+\frac{200}{31}\times 0.21\\\frac{500}{31}\times 0.16-\frac{700}{31}\times 0.21\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{31}\\-\frac{67}{31}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi r u t.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

Biex tagħmel \frac{7r}{100} u \frac{r}{20} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'0.05 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'0.07.

$$0.05\times 0.07r+0.05\times 0.02t=0.05\times 0.16,0.07\times 0.05r+0.07\left(-0.03\right)t=0.07\times 0.21$$

Issimplifika.

$$0.0035r+0.001t=0.008,0.0035r-0.0021t=0.0147$$

Naqqas 0.0035r-0.0021t=0.0147 minn 0.0035r+0.001t=0.008 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$0.0035r-0.0035r+0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

Żid \frac{7r}{2000} ma' -\frac{7r}{2000}. \frac{7r}{2000} u -\frac{7r}{2000} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

Żid \frac{t}{1000} ma' \frac{21t}{10000}.

$$0.0031t=0.008-0.0147$$

Żid 0.008 ma' -0.0147 biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$0.0031t=-0.0067$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'0.0031, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$t=-\frac{67}{31}$$

Issostitwixxi -\frac{67}{31} għal t f'0.05r-0.03t=0.21. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal r direttament.

$$0.05r-0.03\left(-\frac{67}{31}\right)=0.21$$

Immultiplika -0.03 b'-\frac{67}{31} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$0.05r+\frac{201}{3100}=0.21$$

Naqqas \frac{201}{3100} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$0.05r=\frac{9}{62}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'20.

$$r=\frac{90}{31}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$