Issolvi {l}{0,6x+2y=20}{(2)-4x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,6 x + 2 y = 20 } \\ { ( 2 ) - 4 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{130}{43} = 3\frac{1}{43} \approx 3.023255814$$

$$y = \frac{391}{43} = 9\frac{4}{43} \approx 9.093023256$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$0.6x+2y=20$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$0.6x=-2y+20$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'0.6, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2y+20\right)$$

Immultiplika \frac{5}{3} b'-2y+20.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-10y+100}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -4x+y+2=-1.

$$-4\left(-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}\right)+y+2=-1$$

Immultiplika -4 b'\frac{-10y+100}{3}.

$$\frac{40}{3}y-\frac{400}{3}+y+2=-1$$

Żid \frac{40y}{3} ma' y.

$$\frac{43}{3}y-\frac{400}{3}+2=-1$$

Żid -\frac{400}{3} ma' 2.

$$\frac{43}{3}y-\frac{394}{3}=-1$$

Żid \frac{394}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{43}{3}y=\frac{391}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{43}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{391}{43}$$

Issostitwixxi \frac{391}{43} għal y f'x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{391}{43}+\frac{100}{3}$$

Immultiplika -\frac{10}{3} b'\frac{391}{43} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{3910}{129}+\frac{100}{3}$$

Żid \frac{100}{3} ma' -\frac{3910}{129} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{130}{43}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{0.6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{0.6-2\left(-4\right)}&\frac{0.6}{0.6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}&-\frac{10}{43}\\\frac{20}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}\times 20-\frac{10}{43}\left(-3\right)\\\frac{20}{43}\times 20+\frac{3}{43}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{43}\\\frac{391}{43}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

Biex tagħmel \frac{3x}{5} u -4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'0.6.

$$-4\times 0.6x-4\times 2y=-4\times 20,0.6\left(-4\right)x+0.6y+0.6\times 2=0.6\left(-1\right)$$

Issimplifika.

$$-2.4x-8y=-80,-2.4x+0.6y+1.2=-0.6$$

Naqqas -2.4x+0.6y+1.2=-0.6 minn -2.4x-8y=-80 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2.4x+2.4x-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

Żid -\frac{12x}{5} ma' \frac{12x}{5}. -\frac{12x}{5} u \frac{12x}{5} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

Żid -8y ma' -\frac{3y}{5}.

$$-8.6y-1.2=-80+0.6$$

Żid -80 ma' 0.6.

$$-8.6y-1.2=-79.4$$

Żid 1.2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-8.6y=-78.2$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-8.6, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{391}{43}$$

Issostitwixxi \frac{391}{43} għal y f'-4x+y+2=-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-4x+\frac{391}{43}+2=-1$$

Żid \frac{391}{43} ma' 2.

$$-4x+\frac{477}{43}=-1$$

Naqqas \frac{477}{43} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x=-\frac{520}{43}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=\frac{130}{43}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$