Issolvi {l}{0,2x-0,3(2y+1)=1,5}{3(x+1)+3y=2y-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,2 x - 0,3 ( 2 y + 1 ) = 1,5 } \\ { 3 ( x + 1 ) + 3 y = 2 y - 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-0.6$$

$$y=-3.2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -0.3 b'2y+1.

$$0.2x-0.6y-0.3=1.5$$

Żid 0.3 maż-żewġ naħat.

$$0.2x-0.6y=1.5+0.3$$

Żid 1.5 u 0.3 biex tikseb 1.8.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+1.

$$3x+3+3y=2y-2$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

Ikkombina 3y u -2y biex tikseb y.

$$3x+3+y=-2$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat.

$$3x+y=-2-3$$

Naqqas 3 minn -2 biex tikseb -5.

$$3x+y=-5$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$0.2x-0.6y=1.8,3x+y=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

Żid \frac{3y}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$0.2x=0.6y+1.8$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'5.

$$x=5\left(0.6y+1.8\right)$$

Immultiplika 5 b'\frac{3y+9}{5}.

$$x=3y+9$$

Issostitwixxi 9+3y għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+y=-5.

$$3\left(3y+9\right)+y=-5$$

Immultiplika 3 b'9+3y.

$$9y+27+y=-5$$

Żid 9y ma' y.

$$10y+27=-5$$

Naqqas 27 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$10y=-32$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$y=-\frac{16}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{16}{5} għal y f'x=3y+9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=3\left(-\frac{16}{5}\right)+9$$

Immultiplika 3 b'-\frac{16}{5}.

$$x=-\frac{48}{5}+9$$

Żid 9 ma' -\frac{48}{5}.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{16}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -0.3 b'2y+1.

$$0.2x-0.6y-0.3=1.5$$

Żid 0.3 maż-żewġ naħat.

$$0.2x-0.6y=1.5+0.3$$

Żid 1.5 u 0.3 biex tikseb 1.8.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+1.

$$3x+3+3y=2y-2$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

Ikkombina 3y u -2y biex tikseb y.

$$3x+3+y=-2$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat.

$$3x+y=-2-3$$

Naqqas 3 minn -2 biex tikseb -5.

$$3x+y=-5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$0.2x-0.6y=1.8,3x+y=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}&-\frac{-0.6}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}\\-\frac{3}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}&\frac{0.2}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{10}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 1.8+\frac{3}{10}\left(-5\right)\\-\frac{3}{2}\times 1.8+\frac{1}{10}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-\frac{16}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{16}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -0.3 b'2y+1.

$$0.2x-0.6y-0.3=1.5$$

Żid 0.3 maż-żewġ naħat.

$$0.2x-0.6y=1.5+0.3$$

Żid 1.5 u 0.3 biex tikseb 1.8.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+1.

$$3x+3+3y=2y-2$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

Ikkombina 3y u -2y biex tikseb y.

$$3x+3+y=-2$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat.

$$3x+y=-2-3$$

Naqqas 3 minn -2 biex tikseb -5.

$$3x+y=-5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$0.2x-0.6y=1.8,3x+y=-5$$

Biex tagħmel \frac{x}{5} u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'0.2.

$$3\times 0.2x+3\left(-0.6\right)y=3\times 1.8,0.2\times 3x+0.2y=0.2\left(-5\right)$$

Issimplifika.

$$0.6x-1.8y=5.4,0.6x+0.2y=-1$$

Naqqas 0.6x+0.2y=-1 minn 0.6x-1.8y=5.4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$0.6x-0.6x-1.8y-0.2y=5.4+1$$

Żid \frac{3x}{5} ma' -\frac{3x}{5}. \frac{3x}{5} u -\frac{3x}{5} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-1.8y-0.2y=5.4+1$$

Żid -\frac{9y}{5} ma' -\frac{y}{5}.

$$-2y=5.4+1$$

Żid 5.4 ma' 1.

$$-2y=6.4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=-\frac{16}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{16}{5} għal y f'3x+y=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-\frac{16}{5}=-5$$

Żid \frac{16}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-\frac{9}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{16}{5}$$