Issolvi {l}{-x+3y=6}{x-7y=14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 3 y = 6 } \\ { x - 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-21$$

$$y=-5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-x+3y=6$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-3y+6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-\left(-3y+6\right)$$

Immultiplika -1 b'-3y+6.

$$x=3y-6$$

Issostitwixxi -6+3y għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-7y=14.

$$3y-6-7y=14$$

Żid 3y ma' -7y.

$$-4y-6=14$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4y=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$y=-5$$

Issostitwixxi -5 għal y f'x=3y-6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=3\left(-5\right)-6$$

Immultiplika 3 b'-5.

$$x=-15-6$$

Żid -6 ma' -15.

$$x=-21$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-21,y=-5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-\left(-7\right)-3}&-\frac{3}{-\left(-7\right)-3}\\-\frac{1}{-\left(-7\right)-3}&-\frac{1}{-\left(-7\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4}\times 6-\frac{3}{4}\times 14\\-\frac{1}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-21,y=-5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

Biex tagħmel -x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-1.

$$-x+3y=6,-x-\left(-7y\right)=-14$$

Issimplifika.

$$-x+3y=6,-x+7y=-14$$

Naqqas -x+7y=-14 minn -x+3y=6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-x+x+3y-7y=6+14$$

Żid -x ma' x. -x u x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3y-7y=6+14$$

Żid 3y ma' -7y.

$$-4y=6+14$$

Żid 6 ma' 14.

$$-4y=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$y=-5$$

Issostitwixxi -5 għal y f'x-7y=14. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-7\left(-5\right)=14$$

Immultiplika -7 b'-5.

$$x+35=14$$

Naqqas 35 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-21$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-21,y=-5$$