Issolvi {l}{-x+2y=-2}{x+y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 2 y = - 2 } \\ { x + y = - 10 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-6$$

$$y=-4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-x+2y=-2,x+y=-10$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-x+2y=-2$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-2y-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-\left(-2y-2\right)$$

Immultiplika -1 b'-2y-2.

$$x=2y+2$$

Issostitwixxi 2+2y għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+y=-10.

$$2y+2+y=-10$$

Żid 2y ma' y.

$$3y+2=-10$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3y=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=-4$$

Issostitwixxi -4 għal y f'x=2y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=2\left(-4\right)+2$$

Immultiplika 2 b'-4.

$$x=-8+2$$

Żid 2 ma' -8.

$$x=-6$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-6,y=-4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-x+2y=-2,x+y=-10$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-1&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-10\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-10\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{2}{3}\left(-10\right)\\\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-6,y=-4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-x+2y=-2,x+y=-10$$

Biex tagħmel -x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-1.

$$-x+2y=-2,-x-y=-\left(-10\right)$$

Issimplifika.

$$-x+2y=-2,-x-y=10$$

Naqqas -x-y=10 minn -x+2y=-2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-x+x+2y+y=-2-10$$

Żid -x ma' x. -x u x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y+y=-2-10$$

Żid 2y ma' y.

$$3y=-2-10$$

Żid -2 ma' -10.

$$3y=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=-4$$

Issostitwixxi -4 għal y f'x+y=-10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-4=-10$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-6$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-6,y=-4$$