Issolvi {l}{-6x+5y=1}{6x+4y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 6 x + 5 y = 1 } \\ { 6 x + 4 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-1$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-6x+5y=1$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-6x=-5y+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-5y+1\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{6} b'-5y+1.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}$$

Issostitwixxi \frac{5y-1}{6} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x+4y=-10.

$$6\left(\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}\right)+4y=-10$$

Immultiplika 6 b'\frac{5y-1}{6}.

$$5y-1+4y=-10$$

Żid 5y ma' 4y.

$$9y-1=-10$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9y=-9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{6}$$

Immultiplika \frac{5}{6} b'-1.

$$x=\frac{-5-1}{6}$$

Żid -\frac{1}{6} ma' -\frac{5}{6} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{5}{-6\times 4-5\times 6}\\-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}+\frac{5}{54}\left(-10\right)\\\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-1,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

Biex tagħmel -6x u 6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-6.

$$6\left(-6\right)x+6\times 5y=6,-6\times 6x-6\times 4y=-6\left(-10\right)$$

Issimplifika.

$$-36x+30y=6,-36x-24y=60$$

Naqqas -36x-24y=60 minn -36x+30y=6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-36x+36x+30y+24y=6-60$$

Żid -36x ma' 36x. -36x u 36x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$30y+24y=6-60$$

Żid 30y ma' 24y.

$$54y=6-60$$

Żid 6 ma' -60.

$$54y=-54$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'54.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'6x+4y=-10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$6x+4\left(-1\right)=-10$$

Immultiplika 4 b'-1.

$$6x-4=-10$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=-1$$