Issolvi {l}{-5x+y=-12}{5y=10x-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 12 } \\ { 5 y = 10 x - 15 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 10x miż-żewġ naħat.

$$5y-10x=-15$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-5x+y=-12$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=-y-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-12\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'-y-12.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}$$

Issostitwixxi \frac{12+y}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -10x+5y=-15.

$$-10\left(\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}\right)+5y=-15$$

Immultiplika -10 b'\frac{12+y}{5}.

$$-2y-24+5y=-15$$

Żid -2y ma' 5y.

$$3y-24=-15$$

Żid 24 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3y=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{5}\times 3+\frac{12}{5}$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'3.

$$x=\frac{3+12}{5}$$

Żid \frac{12}{5} ma' \frac{3}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 10x miż-żewġ naħat.

$$5y-10x=-15$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{1}{-5\times 5-\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{15}\left(-15\right)\\-\frac{2}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 10x miż-żewġ naħat.

$$5y-10x=-15$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Biex tagħmel -5x u -10x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-10 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-5.

$$-10\left(-5\right)x-10y=-10\left(-12\right),-5\left(-10\right)x-5\times 5y=-5\left(-15\right)$$

Issimplifika.

$$50x-10y=120,50x-25y=75$$

Naqqas 50x-25y=75 minn 50x-10y=120 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$50x-50x-10y+25y=120-75$$

Żid 50x ma' -50x. 50x u -50x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-10y+25y=120-75$$

Żid -10y ma' 25y.

$$15y=120-75$$

Żid 120 ma' -75.

$$15y=45$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'15.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'-10x+5y=-15. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-10x+5\times 3=-15$$

Immultiplika 5 b'3.

$$-10x+15=-15$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-10x=-30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-10.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=3$$