Issolvi {l}{-4x-2y=-16}{7x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x - 2 y = - 16 } \\ { 7 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-4x-2y=-16$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x=2y-16$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(2y-16\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{4} b'-16+2y.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

Issostitwixxi -\frac{y}{2}+4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 7x-5y=11.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+4\right)-5y=11$$

Immultiplika 7 b'-\frac{y}{2}+4.

$$-\frac{7}{2}y+28-5y=11$$

Żid -\frac{7y}{2} ma' -5y.

$$-\frac{17}{2}y+28=11$$

Naqqas 28 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{17}{2}y=-17$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{17}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=-\frac{1}{2}y+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'2.

$$x=-1+4$$

Żid 4 ma' -1.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{4}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}&\frac{1}{17}\\-\frac{7}{34}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}\left(-16\right)+\frac{1}{17}\times 11\\-\frac{7}{34}\left(-16\right)-\frac{2}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

Biex tagħmel -4x u 7x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'7 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-4.

$$7\left(-4\right)x+7\left(-2\right)y=7\left(-16\right),-4\times 7x-4\left(-5\right)y=-4\times 11$$

Issimplifika.

$$-28x-14y=-112,-28x+20y=-44$$

Naqqas -28x+20y=-44 minn -28x-14y=-112 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-28x+28x-14y-20y=-112+44$$

Żid -28x ma' 28x. -28x u 28x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-14y-20y=-112+44$$

Żid -14y ma' -20y.

$$-34y=-112+44$$

Żid -112 ma' 44.

$$-34y=-68$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-34.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'7x-5y=11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$7x-5\times 2=11$$

Immultiplika -5 b'2.

$$7x-10=11$$

Żid 10 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=21$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=2$$