Issolvi {l}{-4x+3y=13}{15x+3y=-6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x + 3 y = 13 } \\ { 15 x + 3 y = - 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-4x+3y=13$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x=-3y+13$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{4} b'-3y+13.

$$x=\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}$$

Issostitwixxi \frac{3y-13}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 15x+3y=-6.

$$15\left(\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}\right)+3y=-6$$

Immultiplika 15 b'\frac{3y-13}{4}.

$$\frac{45}{4}y-\frac{195}{4}+3y=-6$$

Żid \frac{45y}{4} ma' 3y.

$$\frac{57}{4}y-\frac{195}{4}=-6$$

Żid \frac{195}{4} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{57}{4}y=\frac{171}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{57}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x=\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{4}\times 3-\frac{13}{4}$$

Immultiplika \frac{3}{4} b'3.

$$x=\frac{9-13}{4}$$

Żid -\frac{13}{4} ma' \frac{9}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-4\times 3-3\times 15}&-\frac{3}{-4\times 3-3\times 15}\\-\frac{15}{-4\times 3-3\times 15}&-\frac{4}{-4\times 3-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{5}{19}&\frac{4}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 13+\frac{1}{19}\left(-6\right)\\\frac{5}{19}\times 13+\frac{4}{57}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-1,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

Naqqas 15x+3y=-6 minn -4x+3y=13 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-4x-15x+3y-3y=13+6$$

Żid 3y ma' -3y. 3y u -3y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-4x-15x=13+6$$

Żid -4x ma' -15x.

$$-19x=13+6$$

Żid 13 ma' 6.

$$-19x=19$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-19.

$$x=-1$$

Issostitwixxi -1 għal x f'15x+3y=-6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$15\left(-1\right)+3y=-6$$

Immultiplika 15 b'-1.

$$-15+3y=-6$$

Żid 15 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3y=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=3$$