Issolvi {l}{-3a=4a+2b-3}{-b/2a=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 a = 4 a + 2 b - 3 } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal a, b

$$a=1$$

$$b=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 4a miż-żewġ naħat.

$$-3a-4a=2b-3$$

Ikkombina -3a u -4a biex tikseb -7a.

$$-7a=2b-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$a=-\frac{1}{7}\left(2b-3\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{7} b'2b-3.

$$a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}$$

Issostitwixxi \frac{-2b+3}{7} għal a fl-ekwazzjoni l-oħra, -2a-b=0.

$$-2\left(-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}\right)-b=0$$

Immultiplika -2 b'\frac{-2b+3}{7}.

$$\frac{4}{7}b-\frac{6}{7}-b=0$$

Żid \frac{4b}{7} ma' -b.

$$-\frac{3}{7}b-\frac{6}{7}=0$$

Żid \frac{6}{7} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{3}{7}b=\frac{6}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{3}{7}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$b=-2$$

Issostitwixxi -2 għal b f'a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a=-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}$$

Immultiplika -\frac{2}{7} b'-2.

$$a=\frac{4+3}{7}$$

Żid \frac{3}{7} ma' \frac{4}{7} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$a=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=1,b=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 4a miż-żewġ naħat.

$$-3a-4a=2b-3$$

Ikkombina -3a u -4a biex tikseb -7a.

$$-7a=2b-3$$

Naqqas 2b miż-żewġ naħat.

$$-7a-2b=-3$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Il-varjabbli a ma jistax ikun ugwali għal 0 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2a.

$$-b=2a$$

Naqqas 2a miż-żewġ naħat.

$$-b-2a=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a u b.

$$a=1,b=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 4a miż-żewġ naħat.

$$-3a-4a=2b-3$$

Ikkombina -3a u -4a biex tikseb -7a.

$$-7a=2b-3$$

Naqqas 2b miż-żewġ naħat.

$$-7a-2b=-3$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Il-varjabbli a ma jistax ikun ugwali għal 0 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2a.

$$-b=2a$$

Naqqas 2a miż-żewġ naħat.

$$-b-2a=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

Biex tagħmel -7a u -2a ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-7.

$$-2\left(-7\right)a-2\left(-2\right)b=-2\left(-3\right),-7\left(-2\right)a-7\left(-1\right)b=0$$

Issimplifika.

$$14a+4b=6,14a+7b=0$$

Naqqas 14a+7b=0 minn 14a+4b=6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$14a-14a+4b-7b=6$$

Żid 14a ma' -14a. 14a u -14a jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4b-7b=6$$

Żid 4b ma' -7b.

$$-3b=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$b=-2$$

Issostitwixxi -2 għal b f'-2a-b=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$-2a-\left(-2\right)=0$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2a=-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$a=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=1,b=-2$$