Issolvi {l}{-(-x-y)-4(y-x)=8}{3x-1+2(y+3)-5=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - ( - x - y ) - 4 ( y - x ) = 8 } \\ { 3 x - 1 + 2 ( y + 3 ) - 5 = 20 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=4$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Biex issib l-oppost ta' -x-y, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -4 b'y-x.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Ikkombina y u -4y biex tikseb -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

Immultiplika -1 u -1 biex tikseb 1.

$$x-3y+4x=8$$

Ikkombina x u 4x biex tikseb 5x.

$$5x-3y=8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'y+3.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Żid -1 u 6 biex tikseb 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

Naqqas 5 minn 5 biex tikseb 0.

$$3x+2y=20$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-3y=8$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=3y+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'3y+8.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

Issostitwixxi \frac{3y+8}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+2y=20.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=20$$

Immultiplika 3 b'\frac{3y+8}{5}.

$$\frac{9}{5}y+\frac{24}{5}+2y=20$$

Żid \frac{9y}{5} ma' 2y.

$$\frac{19}{5}y+\frac{24}{5}=20$$

Naqqas \frac{24}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{19}{5}y=\frac{76}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{19}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{5}\times 4+\frac{8}{5}$$

Immultiplika \frac{3}{5} b'4.

$$x=\frac{12+8}{5}$$

Żid \frac{8}{5} ma' \frac{12}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Biex issib l-oppost ta' -x-y, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -4 b'y-x.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Ikkombina y u -4y biex tikseb -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

Immultiplika -1 u -1 biex tikseb 1.

$$x-3y+4x=8$$

Ikkombina x u 4x biex tikseb 5x.

$$5x-3y=8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'y+3.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Żid -1 u 6 biex tikseb 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

Naqqas 5 minn 5 biex tikseb 0.

$$3x+2y=20$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 20\\-\frac{3}{19}\times 8+\frac{5}{19}\times 20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=4,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Biex issib l-oppost ta' -x-y, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -4 b'y-x.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Ikkombina y u -4y biex tikseb -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

Immultiplika -1 u -1 biex tikseb 1.

$$x-3y+4x=8$$

Ikkombina x u 4x biex tikseb 5x.

$$5x-3y=8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'y+3.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Żid -1 u 6 biex tikseb 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

Naqqas 5 minn 5 biex tikseb 0.

$$3x+2y=20$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Biex tagħmel 5x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 20$$

Issimplifika.

$$15x-9y=24,15x+10y=100$$

Naqqas 15x+10y=100 minn 15x-9y=24 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$15x-15x-9y-10y=24-100$$

Żid 15x ma' -15x. 15x u -15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-9y-10y=24-100$$

Żid -9y ma' -10y.

$$-19y=24-100$$

Żid 24 ma' -100.

$$-19y=-76$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-19.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'3x+2y=20. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+2\times 4=20$$

Immultiplika 2 b'4.

$$3x+8=20$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=4$$