Issolvi {l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=0$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża teorema binomjali \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} biex tespandi \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Żid 4 u 1 biex tikseb 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Naqqas x^{2} miż-żewġ naħat.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Ikkombina x^{2} u -x^{2} biex tikseb 0.

$$4x+5=5y$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat.

$$4x+5-5y=0$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$4x-5y=-5$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x-5y=-5$$

Żid 5y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=5y-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-5+5y.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

Issostitwixxi \frac{-5+5y}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+y=1.

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

Immultiplika 3 b'\frac{-5+5y}{4}.

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

Żid \frac{15y}{4} ma' y.

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

Żid \frac{15}{4} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{19}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5-5}{4}$$

Żid -\frac{5}{4} ma' \frac{5}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża teorema binomjali \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} biex tespandi \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Żid 4 u 1 biex tikseb 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Naqqas x^{2} miż-żewġ naħat.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Ikkombina x^{2} u -x^{2} biex tikseb 0.

$$4x+5=5y$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat.

$$4x+5-5y=0$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$4x-5y=-5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=0,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża teorema binomjali \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} biex tespandi \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Żid 4 u 1 biex tikseb 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Naqqas x^{2} miż-żewġ naħat.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Ikkombina x^{2} u -x^{2} biex tikseb 0.

$$4x+5=5y$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat.

$$4x+5-5y=0$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$4x-5y=-5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Biex tagħmel 4x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

Issimplifika.

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

Naqqas 12x+4y=4 minn 12x-15y=-15 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

Żid 12x ma' -12x. 12x u -12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-15y-4y=-15-4$$

Żid -15y ma' -4y.

$$-19y=-15-4$$

Żid -15 ma' -4.

$$-19y=-19$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-19.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'3x+y=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+1=1$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=1$$