Issolvi {l}{(A+B)1/2-B=3/4}{(2A+B)1/4-B=5/4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( A + B ) \frac { 1 } { 2 } - B = \frac { 3 } { 4 } } \\ { ( 2 A + B ) \frac { 1 } { 4 } - B = \frac { 5 } { 4 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal A, B

$$A=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$B=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika A+B b'\frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}$$

Ikkombina \frac{1}{2}B u -B biex tikseb -\frac{1}{2}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2A+B b'\frac{1}{4}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}$$

Ikkombina \frac{1}{4}B u -B biex tikseb -\frac{3}{4}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal A billi tiżola A fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Żid \frac{B}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$A=2\left(\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}\right)$$

Immultiplika 2 b'\frac{B}{2}+\frac{3}{4}.

$$A=B+\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi B+\frac{3}{2} għal A fl-ekwazzjoni l-oħra, \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}.

$$\frac{1}{2}\left(B+\frac{3}{2}\right)-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'B+\frac{3}{2}.

$$\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Żid \frac{B}{2} ma' -\frac{3B}{4}.

$$-\frac{1}{4}B+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$$

Naqqas \frac{3}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{4}B=\frac{1}{2}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-4.

$$B=-2$$

Issostitwixxi -2 għal B f'A=B+\frac{3}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal A direttament.

$$A=-2+\frac{3}{2}$$

Żid \frac{3}{2} ma' -2.

$$A=-\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$A=-\frac{1}{2},B=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika A+B b'\frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}$$

Ikkombina \frac{1}{2}B u -B biex tikseb -\frac{1}{2}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2A+B b'\frac{1}{4}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}$$

Ikkombina \frac{1}{4}B u -B biex tikseb -\frac{3}{4}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times \frac{3}{4}-4\times \frac{5}{4}\\4\times \frac{3}{4}-4\times \frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi A u B.

$$A=-\frac{1}{2},B=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika A+B b'\frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}$$

Ikkombina \frac{1}{2}B u -B biex tikseb -\frac{1}{2}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2A+B b'\frac{1}{4}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}$$

Ikkombina \frac{1}{4}B u -B biex tikseb -\frac{3}{4}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Naqqas \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4} minn \frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4} billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}B=\frac{3-5}{4}$$

Żid \frac{A}{2} ma' -\frac{A}{2}. \frac{A}{2} u -\frac{A}{2} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}B=\frac{3-5}{4}$$

Żid -\frac{B}{2} ma' \frac{3B}{4}.

$$\frac{1}{4}B=\frac{3-5}{4}$$

Żid \frac{3}{4} ma' -\frac{5}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$\frac{1}{4}B=-\frac{1}{2}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'4.

$$B=-2$$

Issostitwixxi -2 għal B f'\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal A direttament.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}\left(-2\right)=\frac{5}{4}$$

Immultiplika -\frac{3}{4} b'-2.

$$\frac{1}{2}A+\frac{3}{2}=\frac{5}{4}$$

Naqqas \frac{3}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{2}A=-\frac{1}{4}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$A=-\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$A=-\frac{1}{2},B=-2$$